Probabilités

[mayab007]

Bonjour, je suis en prépa
J'ai un exercice que je ne comprend pas :
combien de fois doit-on jeter un dé équilibré pour que la probabilité d'avoir un 3 soit > 0.6 ?

[infernaleur]

Salut,
tu peux modéliser sa par une loi binomiale de paramètre B(n,1/6) où le succès est "obtenir un 3".
il te faut donc résoudre P(X=1)>0.6.
(je te rappel que

[mayab007]

Comment je pourrais isolé le (n) ?

[infernaleur]

tu as trouvé quoi pour P(X=1) déjà ?

[Pseuda]

Bonjour,

Pour résoudre des équations (et des inéquations), la loi binomiale n'est pas pratique mathématiquement parlant : il faut faire une simulation (un algorithme).

Sinon on peut utiliser aussi la loi normale de même espérance et même écart-type.

[pascal16]

le Classpad fait la répartition inverse du cumul de la binomiale.

Perso, pour accélérer les recherches en lycée du seuils à 5% sur une binomiale, je passe par la loi normale.

[Ben314]

Salut,
A mon avis, plutôt que d'utiliser des "formules sorties d'un chapeau", ben ça serait plus rapide d'essayer d'avoir un peu de bon sens...
Pour commencer, l'énoncé est (comme très souvent...) ambigüe : est ce que "la probabilité d'avoir un 3" désigne "la probabilité de sortir au moins une fois un 3" ou bien "la probabilité de sortir exactement une fois un 3" ?
Vu le contexte qui semble sous entendre que, plus n est grand, plus la proba augmente, il semblerais que ce soit plutôt la première interprétation qui soit à envisager (la proba de sortir exactement un et un seul 3 devient très faible lorsque n est très grand : sur 100 lancer, il y a très peu de chance qu'on ait pas tiré au moins 2 fois un 3)

Reste à évaluer la proba p_n de tirer au moins un 3 sur n tirages. Et le "au moins un" fait évidement c... vu que ça signifie qu'il faut ajouter la proba. d'en tirer (exactement) un plus celle d'en tirer (exactement) deux plus...
Et là, si on a fait au moins une fois des proba dans sa vie, ben on sait que l'astuce, c'est de passer à l'évènement contraire : ne pas tirer au moins une fois un 3, ben ça veut dire ne tirer systématiquement que des valeur différentes de 3.
Pour le premier dés, la proba d'être différent de 3 est de 5/6. Pour le deuxième, idem, Pour le troisième idem, etc...
Et comme on veut que (le premier soit différent de 3) ET (le deuxième soit différent de 3) ET (le troisième soit différent de 3) ET ... et que les résultat des dès sont supposés indépendants (sous entendu dans l'exercice...), c'est que la proba de ne jamais tirer de 3, c'est (5/6)x(5/6)x(5/6)x..., c'est à dire (5/6)^n.
Donc p_n=1-(5/6)^n