Probabilités

[Ncdk]

Bonjour,

On lance 5 dés à 6 faces numérotées de 1 à 6.
Calculer la probabilité d'avoir :

• Exactement deux faces identiques
• Exactement 2 fois 2 faces identiques

J'ai voulu trouver les probabilités à l'aide de la loi uniforme.

J'ai trouvé

J'ai noté A l'événement "Exactement deux faces identiques", je cherchais donc le nombre de combinaisons possibles pour cet événement.
J'ai commencé à noter que ça ressemblait à l'ensemble des 5-uplets de la forme (a_1,a_2,a_3,a_4,a_5), mais je voulais premièrement transcrire mon idée sur l'ensemble des 5-uplets avec des symboles en fait, mais j'arrive pas, ce qui me gêne c'est qu'on a forcément 2 valeurs qui seront les mêmes mais qui peuvent permuter, et je sais pas comment formaliser ça dans mon ensemble.

De plus, j'ai tenté d'y aller bourrin, mais je crois que mon raisonnement coince à un endroit :
Premier dé : qui donne la valeur du premier dé
Deuxième dé : qui donne la même valeur que le premier (nécessaire pour avoir 2 faces identiques)
Troisième dé : qui donne une valeur différente des deux premiers.
Quatrième dé : qui donne une valeur différente des trois premiers.
Cinquième dé : qui donne une valeur différente des quatre premiers.

Du coup je voulais dire que

Mais pour moi, il y a trop de choses, car le 5-uplets (1,1,2,3,4) c'est exactement le même que (1,2,3,4,1). Au final j'ai l'impression de trop en compter, ou bien pas assez.

Merci d'avance

[zygomatique]

salut

en supposant que tu numérotes comme tu le fais c'est faux : tout simplement pour le 2e dé : tu n'as qu'un choix : le même que le premier !!!!

il y a 6 choix pour lequel deux dés auront la même face ....

ensuite je choisis 2 dés parmi les 5 qui auront cette même face

ensuite j'ai 5 * 4 * 3 choix pour les trois autres dés fois 3! façons d'ordonner ces trois dés ....

me semblerait plus exact .....

[Pseuda]

Supprimé

[Ben314]

(1) J'ai trouvé
(2) ...(1,1,2,3,4) c'est exactement le même que (1,2,3,4,1).

(1) et (2) sont contradictoire l'un avec l'autre.
Quand tu écrit que , c'est pas con de passer un petit moment à comprendre ce que ça veut dire : c'est le nombre de 5-uplets où les sont des éléments (pas forcément distincts) d'un ensemble à 6 éléments.
Et bien sûr, quand on écrit ça, il faut absolument savoir ce que signifie "un 5-uplets" (si on sait même pas ce que c'est qu'on compte, c'est mal barré...) et, en l'occurrence, par définition le 5-uplets (1,1,2,3,4) est différent du 5-uplets (1,2,3,4,1).
Moyen "mnémotechnique" de s'en rappeler : les n-uplets, c'est ce qu'on utilise pour les coordonnées des points/vecteurs et très clairement , le point (1,3), c'est pas le même que le point (3,1) et le point (1,1) bien sûr qu'il existe.

Bilan : dés que tu as écrit que , ça veut dire que, obligatoirement, dans toute la suite, tout les truc que tu va dénombrer, c'est en considérant comme différent les "cas" et (si bien sûr).

Sinon, le principe est à peu prés correct, mais il te manque... des tonnes de cas : il est bien clair que le fait que les deux premiers dés donne le même résultat n'est pas le seul cas dans lequel on a exactement deux dés donnant la même valeur.

Remarque :
Tu aurais bien sûr pu choisir un "plus petit" dans lequel les "évènements" (1,1,2,3,4) et (1,2,3,4,1) auraient été considérés comme "les mêmes", sauf que :
- Rien que le cardinal de c'est plus chiant à calculer.
- Et surtout, les différent éléments de cet là n'auraient pas été équiprobable : la proba de (1,1,1,1,1) aurait été 120 fois plus faible que celle de (1,2,3,4,5) d'où le bordel complet pour faire les calculs !!!

Bref, dans ce type d'exo, même si au départ les dés sont "indiscernables", il faut quasi systématiquement s'empresser de prendre de la peinture pour les rendre discernable, ce qui ne change absolument rien au probas (modulo de ne pas déséquilibrer les dés lorsqu'on les peint...)

[chan79]

Bonjour,

On lance 5 dés à 6 faces numérotées de 1 à 6.
Calculer la probabilité d'avoir :

• Exactement deux faces identiques
• Exactement 2 fois 2 faces identiques

J'ai voulu trouver les probabilités à l'aide de la loi uniforme.

J'ai trouvé

J'ai noté A l'événement "Exactement deux faces identiques", je cherchais donc le nombre de combinaisons possibles pour cet événement.
J'ai commencé à noter que ça ressemblait à l'ensemble des 5-uplets de la forme (a_1,a_2,a_3,a_4,a_5), mais je voulais premièrement transcrire mon idée sur l'ensemble des 5-uplets avec des symboles en fait, mais j'arrive pas, ce qui me gêne c'est qu'on a forcément 2 valeurs qui seront les mêmes mais qui peuvent permuter, et je sais pas comment formaliser ça dans mon ensemble.

De plus, j'ai tenté d'y aller bourrin, mais je crois que mon raisonnement coince à un endroit :
Premier dé : qui donne la valeur du premier dé
Deuxième dé : qui donne la même valeur que le premier (nécessaire pour avoir 2 faces identiques)
Troisième dé : qui donne une valeur différente des deux premiers.
Quatrième dé : qui donne une valeur différente des trois premiers.
Cinquième dé : qui donne une valeur différente des quatre premiers.

Du coup je voulais dire que

Mais pour moi, il y a trop de choses, car le 5-uplets (1,1,2,3,4) c'est exactement le même que (1,2,3,4,1). Au final j'ai l'impression de trop en compter, ou bien pas assez.

Merci d'avance

Salut
Un tirage est un quintuplet.
Il faut en choisir 2 parmi 5 puis:
6 possibilités pour les deux égaux
5 pour un autre dé ... etc (on multiplie, bien-sûr)

[Ncdk]

@Zygomatique : J'ai pas tellement compris ton explication. On a bien le 6 choix pour les deux dés qui auront la même face, par contre il est vrai que j'ai pas du tout compter le fait que nos deux dés identiques, je les ais pas prit par les 5 dés de notre tirage final...
Après le reste je suis d'accord au final, j'ai oublié d'ordonner les 3 derniers dés...

@PSEUDA : Sans dire de bêtises, il me semble que les 3 autres dés ne doivent pas être les mêmes, d'où le "Exactement" ou alors on m'aurait menti (En réalité je sais pas si c'est ce que tu as dis) mais les 3 derniers dés sont distincts des deux dés qui ont la même face, et puis entre eux aussi ils doivent pas être identiques.

@Ben : Merci pour l'explication, il me semble qu'on parle d'une façon de compter de manière ordonnée ou désordonnée, je sais pas si c'est les termes exactes, je vois pas tellement la différence entre les deux surtout pour ce cas d'exercices.
En fait ce que je voulais dire, et c'est là qu'il faut prendre des pincettes, c'est qu'une combinaison (1,1,2,3,4) et (1,2,3,4,1) je disais que c'était la "même chose" car on a la même face "paire". J'ai pensé un petit moment que ces choses là ne devaient pas se produire, car la paire est identique bien qu'elle soit pas à la même position, mais dans ces cas-là, ça convenait absolument pas avec le cardinal que j'ai calculé.
Grosso modo, je me suis un peu embrouillé la tête pour quelque chose de simple...

@Chan : Merci, ça ressemble bien à ce qui a été dit par Zygomatique et PSEUDA, je comprends mieux au final.

Si je récapitule, dans mon calcul il me manquait la position de la paire, après l'ordre des trois autres dés c'est pas un problème étant donné que seul la face "compte" dans notre raisonnement, du moins une fois qu'on a placé la paire, la position des autres faces complète notre 5-uplets.

[chan79]

oui, (2 parmi 5) soit 10, à multiplier par 6*5*4*3 et pour avoir la proba, diviser par 6^5

[Ben314]

@Ben : Merci pour l'explication, il me semble qu'on parle d'une façon de compter de manière ordonnée ou désordonnée, je sais pas si c'est les termes exactes, je vois pas tellement la différence entre les deux surtout pour ce cas d'exercices.
En fait ce que je voulais dire, et c'est là qu'il faut prendre des pincettes, c'est qu'une combinaison (1,1,2,3,4) et (1,2,3,4,1) je disais que c'était la "même chose" car on a la même face "paire".

Ce qu'il faut bien bien bien comprendre c'est que de savoir si deux "trucs" sont les mêmes ou pas, ça va dépendre de ce que tu as choisi comme au départ et de rien d'autre donc qu'il faut bien réfléchir au début au choix du .
Par exemple, si c'est moi qui devait corriger ta copie, j'aurais entouré en rouge ton en écrivant à coté "qui est ?" vu que l'erreur que tu commet ensuite vient du fait que tu as écrit ça "mécaniquement" sans chercher à comprendre ce que ça voulais dire.
Si tu avais écrit en toute lettre "Je modélise le problème en notant l'ensemble des 5-uplet, c'est à dire en considérant qu'il y a un dés numéro 1, un dés numéro 2, etc" je pense que ça aurais répondu a la question que tu te posait ensuite.

La sempiternelle question posée par les étudiants débutant en proba. est "comment choisir le ?" (exprimée souvent sous la forme "comment savoir si dans tel ou tel exercice il faut "discerner" (1,3) et (3,1) ?")
Et a mon avis, la "vraie" réponse (évidement peu satisfaisante pour l'étudiant "pas bien dégourdi"), c'est : dans la majorité des exercices, il y a plusieurs choix théorique possibles pour , mais il y a un souvent un seul "pratique" et les autres ne sont "pas pratique du tout".
Par exemple, il est beaucoup beaucoup plus pratique d'avoir un dans lequel tout les évènement élémentaires ont la même proba d'apparition (mais c'est pas toujours possible).

[Ncdk]

Ah oui je vois, mais sur une copie, pour justifier mon

J'aurai tout simplement marqué que c'est

Avec les 1,2,3,4,5,6 les faces d'un seul dé, c'est vrai que parfois, j'hésite sur certains choix de alors qu'il ne faudrait pas, je sais pas si c'est l'énoncé qui pose les doutes, ou si c'est juste l'amateurisme