Probabilités

[edmée]

Je cherche cet exercice et ne voit pas comment démarrer pour Z


X et Y sont 2 variables aléatoires discrètes et indépendantes.
X suit la loi suivante: p(X=1)=1/4 p(X=2)=1/2 p(X=3)=1/4
Y suit une loi binomiale B(3,1/2)
On considère que, dans un club d'aviation, X est le nombre d'avions vérifiés entièrement par jour et Y le nombre d'avions en bon état chaque jour.
Un avion ne peut etre disponible pour un membre du club que s'il a été vérifié et qu'il est en bon état.
Quelle est la loi de la variable Z"nombre d'avions disponibles par jour"?
Quelle est l'esperance de Z?

Merci

[nansyann]

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes définies sur le même univers W

alors : E(XY) = E(X)E(Y)
Après tu sais calculer E(X)=1/4+2*1/2+3*1/4=2
E(Y)=n*p=3*1/2=1.5
Donc E(XY)=2*1.5=3

[nansyann]

En moyenne, 3 avions sont disponible par jour.

[DamX]

En moyenne, 3 avions sont disponible par jour.

Il y a 3 avions au maximum en bon état et afficher une moyenne de 3 avions dispos ne te choque pas ? :we:

Le calcul de E(XY) est correct sauf que ce n'est pas la question. La variable Z ne vaut pas XY.

X désigne le nombre d'avions vérifiés et Y le nombre en bon état mais ne donne aucune information sur l'identité des avions en questions. Le problème est sous-défini il manque une information sur le fait qu'un avion est vérifié est indépendant ou non du fait qu'il est en bon état (l'indépendance entre X et Y ne garantit pas cela) et la répartition des pannes et vérifications entre avions. On peut raisonnablement penser que oui ces deux événement sont indépendants (on rajoute donc une hypothèse) et que les pannes et vérifications sont repartis uniformément entre les avions.

Ainsi pour chaque couple (X,Y), on peut trouver la distribution de Z|(X,Y) grace a cette hypothèse.

Exemple :
X=2, Y=0. Aucun avion en bon état donc forcement Z=0.
X=1, Y=1. On vérifie 1 avion et il y en a 1 qui est en bon état. On a (Grace à l'hypothese rajoutée) 1 chance sur 3 que ce soit le Meme avion (donc Z = 1 avec proba 1/3) et 2/3 qu'il ne s'agisse pas du Meme (donc Z=0 avec proba 2/3).

Etc..

Et quand on a tout décrit ensuite il faut remonter à la loi de Z en intégrant sur la loi de (X,Y).. ( P(Z=k) = somme_sur_(X,Y) P(Z=k|X,Y)*P(X,Y). )

Damien