Probabilités dans [0,1]

par **euler21** » 09 Juil 2010, 07:34

Bonjour
Si on choisit un x au hasard dans l'intervalle [0,1]. Est ce qu'on peut parler d'une probabilité qu'il soit rationnel ??
Si oui cette probabilité est égale à combien ??

par **Finrod** » 09 Juil 2010, 07:36

Elle est nulle.

Car Q est dénombrable et donc la mesure de proba de Q est la mesure de la limite dénombrable d'unions finies (croissantes) de points (de mesure nulle).

Par convergence monotone, ça fait donc 0.

par **windows7** » 09 Juil 2010, 07:38

salut si tu integre l'indicatrice de Q sur [0,1] au sens de lesbegues tu obtiens 0

par **euler21** » 10 Juil 2010, 00:55

Est ce qu'on peut dire "qu'au sens de Lebegue" la probabilité est nulle ? Et si oui est ce qu'on peut définir d'autres mesures pour lesquelles cette probabilité ne soit pas nulle??

par **ffpower** » 10 Juil 2010, 01:07

Oui, et oui, une mesure de proba pour lequel c'est non nul serait par ex la mesure de dirac en 0, auquel cas la proba de valoir 0 est 1, donc la proba d'etre rationnel est 1 aussi. Pour faire une analogie, si on lance une infinité de fois une piece équilibrée, la proba d'avoir que des piles est nulle. Tandis que si on considére que la piece est ultra biaisée est tombe tout le temps sur pile ( ce qui revient à changer la mesure de proba de l'espace ), alors la proba de faire que des piles devient 1..

par **euler21** » 10 Juil 2010, 01:15

Donc si je comprends bien on ne peut pas définir cette probabilité dans L'ABSOLU et on doit toujours spécifier la mesure par laquelle on a calculé notre proba.

par **ffpower** » 10 Juil 2010, 01:33

Oui. on choisit la proba selon ce que l'on veut en faire. Mais si on veut une proba sur [0,1] tel que chaque nombre ait autant de chance de tomber ( ce qui ne veut pas dire grand chose dit comme ça, mais ca se comprend intuitivement ), alors on choisira Lebesgue, de la même maniere que si on considere qu'un piece a autant de chance de tomber sur pile que sur face, on choisira comme proba (1/2,1/2)

par **beagle** » 10 Juil 2010, 08:02

Bonjour,
vous savez s'il existe deux zéros ou un seul zéro?
car une proba nulle peut exister et une proba nulle peut ne pas exister,
sont-elles égales au mème zéro?
Proba de tirer 1/2 sur [0,1] nulle
proba de tirer 3 sur [0,1] est nulle aussi,
mais cette dernière proba n'est-elle pas un peu plus nulle?
genre supernulle?
c'est nul comme question?

par **beagle** » 10 Juil 2010, 08:08

dit autrement ou alors autre question,
proba de tirer un nombre entre 0 et 1 appartenant à [0,1]
somme infinie des probas nulles: infini x 0 = 1
pour reprendre un vieux thème de discussion

Proba de tirer un nombre sup à 1 dans [0,1]
somme des probas nulle
infini x 0 = 0

c'est comme si on n'additionnait pas le mème zéro, non?

PS: multiplication = addition répétée d'un mème terme ici zéro.

par **mathelot** » 10 Juil 2010, 09:09

a priori, il n'y a qu'un seul zéro car un seul ensemble vide

(cf Bourbaki: Tome zéro :zen: )

par **beagle** » 10 Juil 2010, 09:17

mathelot a écrit:a priori, il n'y a qu'un seul zéro car un seul ensemble vide (cf Bourbaki: Tome zéro :zen: )

proba de tirer 3 dans [0,1] est le zéro de l'ensemble vide,OK

proba de tirer 1/2 dans [0,1] est un zéro pas vide, la preuve de son existence est que la somme de ces zéros n'est pas nulle.

je ne me souviens plus d'une discussion (Ben et ...)qui m'était passée au-dessus de la tète, mais dont les bribes par moi perçu était intéressantes,
mais je ne sais plus,
il y avait ordre(?) zéro et ordre -1 il me semble,
c'est lié à ce genre d'interrogation?

par **beagle** » 10 Juil 2010, 10:45

cela me revient légèrement,
ordre 0 et ordre -1, c'était la dimension d'ordre ...
Un point était de dimension zéro.
Un pas de point, un ensemble vide était donné de dimension -1.
si j'ai bien compris, pas sur,
si je ne déforme pas, pas sur,
si cela a un rapport avec le sujet précédent, pas sur,...

par **nodjim** » 10 Juil 2010, 11:11

Finrod a écrit:Elle est nulle.

Car Q est dénombrable et donc la mesure de proba de Q est la mesure de la limite dénombrable d'unions finies (croissantes) de points (de mesure nulle).

Par convergence monotone, ça fait donc 0.

Hum, la question du dénombrable, je veux bien. Je veux bien qu'on m'explique la différence entre le dénombrable des entiers et celui des irrationnels, et pourtant j'ai regardé de près ce sujet, je n'ai pas encore été convaincu par un seul argument.

par **beagle** » 11 Juil 2010, 06:40

Encore fait un beau bide avec mes questions.
je recommence dans l'espoir que Ben qui avait expliqué les ordres de dimension puisse m'apporter un embryon de réponse.

Je prends x dans [0,1], proba de tomber sur 1/3 égale 0.
Je prends x dans [3,4], proba de tomber sur 1/3 égale 0.
S'agit-il du mème zéro, question à la noix de Beagle?

Je multiplie les tirages de x dans [0,1] à l'infini,
proba de tomber sur 1/3, je pense que c'est 1, non?
Donc somme de proba 0 = 1

Je multiplie les tirages de x dans [3,4] à l'infini,
proba de tomber sur 1/3, je pense que c'est zéro.
Donc somme de proba 0 = 0

La mème somme répétée, le mème nombre de facteur répétitif, le mème nombre 0, et un résultat différent.
Le plus simple est de considérer que cela n'est pas le mème zéro.

Dans trouver 1/3 dans [3,4], nous sommes dans l'inexistence, dans le zéro del'ensemble vide, c'est un zéro de dimension -1 .
ce n'est pas le mème zéro, que trouver 1/3 dans [0,1], ce zéro de quantité si faible que c'est nul,c'est un zéro qui existe, ce n'est pas le zéro de l'ensemble vide, c'est un zéro de dimension zéro.

PS: que Lesbègues dont j'ignore tout fasse nettement mieux, en permettant d'autres manipulations, je n'en doute pas,
mais Ben si tu as 5 mn pour commenter,
bref que cela ne soit pas juste une réponse :"t'as qu'à apprendre Lesbègues et sinon tais-toi.

par **Doraki** » 11 Juil 2010, 06:55

Non, il n'y a pas plein de zéros différents.

en probabilités, une somme dénombrable de 0 fera toujours 0.
et une somme non dénombrable de 0 peut faire n'importe quoi.

Tu pourrais dire qu'une somme non dénombrable du 0 de P(x=3) fera toujours 0,
mais comment tu justifies, pour avoir un nombre non dénombrable de copies de ce 0 à sommer, que P(x=3) = P(x=4) = P(x=5) .... sans que P(x=3) = P(x=1/2) ?

par **beagle** » 11 Juil 2010, 07:19

Doraki a écrit:Non, il n'y a pas plein de zéros différents.

en probabilités, une somme dénombrable de 0 fera toujours 0.
et une somme non dénombrable de 0 peut faire n'importe quoi.

Tu pourrais dire qu'une somme non dénombrable du 0 de P(x=3) fera toujours 0,
mais comment tu justifies, pour avoir un nombre non dénombrable de copies de ce 0 à sommer, que P(x=3) = P(x=4) = P(x=5) .... sans que P(x=3) = P(x=1/2) ?

Je vais te relire tranquillement, mais j'ai du mal pour le moment.
Oui, OK pour le fait que somme de zéro dans [0,1] pourrait prendre n'importe quelle valeur, suffirait d'ailleurs simplement de prendre une partie .
Mais c'est parce que ce sont des zéros de dimension O.

N'empèche que les zéros de dimension -1, les zéros de l'ensemble vide, pour moi je ne vois pas leur faire prendre en les sommant, autre chose que 0.Pour le moment, en attendant de comprendre.

par **beagle** » 11 Juil 2010, 07:33

Doraki si tu peux reformuler les p(x), j'arrive pas bien à voir.
j'ai replacé le problème dans deux segments différents
[0,1] et [3,4]
la proba à calculer est proba de tomber sur 1/3 en tirant x

en tirant x dans [3,4], quel est le problème de dire c'est zéro, et que la somme des probas sur tout [3,4] sera toujours zéro, que tu prennes un nombre de x non infini ou infini.La somme des probas zéro sera toujours zéro.
parce que l'on parle de zéro de l'ensemble vide.
aussi quelque part on parle de zéro/infini

alors que dans [0,1], on parle de 1/infini
c'est pour moi du mème ordre qu'un point ici 1/3 est un point, il existe, de dimension zéro, mais il existe,
dans [3,4] il n' y a mème pas de points, 1/3 n'est mème pas là, on parle de trouver quelque chose qui n'existe pas.Dimension -1.
1/3 n'étant pas là on a une présence de 0.
Alors que dans [0,1] j'ai une présence de 1, certes noyé dans l'infini, mais le point est là.

Que les probas de zéro soit les mèmes, le mème zéro, je continue à douter.

par **beagle** » 11 Juil 2010, 11:11

Ben, trois mots d'explications si t'as u peu de temps.

par **Ben314** » 11 Juil 2010, 15:06

Bon, ce qui est compliqué, c'est ce qui se cache derrière le "une somme dénombrable de 0 fera toujours 0 et une somme non dénombrable de 0 peut faire n'importe quoi" de doraki.
La proba d'obtenir un x appartenant à un certain ensemble A contenu dans [0,1] lorsque l'on tire x au hasard (équirépartit) dans [0,1], c'est la mesure (au sens de Lebesgue) de l'ensemble A : c'est ce qui fait par exemple qu'il y a une chance sur 10 pour que x soit entre 0.2 et 0.3
Bon, c'est quoi la mesure d'une partie de R ?
Naïvement, on part du fait qu'on aimerait bien que la mesure d'un intervalle ce soit sa largeur (qu'il soit ouvert ou fermé) : mesure([a,b])=b-a.
On aimerait aussi que ça se comporte "bien", c'est à dire que, par exemple, la mesure de la réunion de deux ensembles disjoints soit égale à la somme des deux mesures.
L'idéal, ça serait même que la mesure d'une réunion quelconque d'ensemble disjoints soir égale à la somme des mesures, mais ça, c'est pas possible car, par exemple on veut que l'intervalle [0,1] mesure 1 alors qu'il est réunion disjointe des intervalles [x,x] (={x}) qui eux mesurent 0.
On demande donc, dans la définition d'une mesure uniquement que la propriétée soit vraie lorsque l'on a affaire à une réunion dénombrable d'ensembles.
Aprés, et c'est assez technique, il faut montrer qu'il n'y a pas de contradictions à supposer qu'une telle mesure existe. Pour cela, il n'y a qu'une seule méthode : la construire.
En fait, cette mesure est unique et s'appelle "la mesure de Lebesgue" sur R.

C'est elle que l'on utilise trés trés souvent en proba.

P.S. : comme le dit Doraki, dans ce type de problème, il n'y a bien qu'un seul 0, celui des réels qui n'est pas tout à fait le même que le 0 correspondant au cardinal de l'ensemble vide qui est plutôt le 0 des nombres entier.

par **euler21** » 11 Juil 2010, 15:35

J'ajouterai en plus que même si ça paraît absurde, il y a des ensembles non dénombrables dont la mesure est nulle. Comme le trièdre de Cantor. Cela prouve ce qu'a dit Doraki

Probabilités dans [0,1]

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