Probabilités: segments se croisent dans cube

[yoshi13]

Bonsoir à tous,

Voici un exercice de probabilités, malgré plusieurs tentatives je n'arrive pas à le démarrer:

On a un cube, une première personne relie deux sommets de ce cube
une deuxieme personne relie deux autres sommets de ce cube
quelle est la probabilité que leurs segments se croisent?

Attention: deux segments perpendiculaires reliés par un sommet ne compte pas
Il faut que les deux segments se croisent en leur milieu, soit sur une face du cube par exemple, soit à l interieur du cube...

Merci par avance

[Ben314]

Salut,
L'enonce est pas super clair :
Au depart on te dit que le deuxieme choisi deux AUTRES sommets pour determiner "son" segment puis on te parle du cas ou les deux segments ont un point commun....

Sinon, a part compter sur ces doitgs en utilisant les symetries pour limiter le decompte, je vois pas bien d'astuce...

[yoshi13]

Hello Ben,

Leur point commun c est juste que les deux segments de se croisent, que ca fasse un X en quelque sorte
Donc ca peut arriver qu au milieu d'une surface, y compris à l interieur du cube

Ok, merci pour ta réponse, penses tu qu il y ait des formules de denombrements pour aider ou il faut vraiment compter tous les cas possibles, sur les doigts comme tu dis?

[L.A.]

Bonjour,

comme le dit Ben, tu devrais préciser clairement toutes les modalités de tirage d'une part et de victoire d'autre part : un même joueur peut-il tirer deux fois le même sommet et avoir un segment réduit à un point ? gagne-t-on si les deux segments sont confondus ? etc...

Je suppose que non et non. Du coup on peut réduire le tirage du premier joueur au choix d'un sommet (le deuxième) parmi 7 (le sommets différents du premier). 3/7 donnent une arête, 3/7 donnent une petite diagonale et 1/7 donnent une grande diagonale. Dans le premier cas pas de victoire possible, dans le deuxième cas un seul segment convient (l'autre petite diagonale de la même face) et dans le troisième 3 segments conviennent (les 3 autres grandes diagonales). Comme le deuxième joueur a (8x7)/2 = 28 choix possibles (12 arêtes + 12 petites + 4 grandes) cela donne

p = 3/7 x 0 + 3/7 x 1/28 + 1/7 x 3/28 = 6/196 = 0,03 environ

[Ben314]

Bon, ben faudrait apprendre à lire et... à comprendre ce qu'on lit...

On a un cube, une première personne relie deux sommets de ce cube
une deuxieme personne relie deux autres sommets de ce cube. . .

Pour moi, arrivé à se stade de la lecture de l'énoncé, la façon dont j'interprète ce qu'il dit, c'est que :
- La première personne choisi un premier sommet A parmi les 8 (sous entendu avec équiprobabilité) puis un deuxième sommet B parmi les 7 restant (toujours sous entendu avec équiprobabilité)
- Puis la deuxième personne choisi un autre sommet C, donc un des 6 restant (équiprobabilité) puis en choisi encore un autre D donc un des 5 restant (équiprobabilité).

Attention: deux segments perpendiculaires reliés par un sommet ne compte pas

Sauf qu'avec cette interprétation là, je vois pas ce que viens f... la remarque ci dessus concernant l'éventuelle possibilité que deux segments soient reliés par un sommet. Vu les modalités ci dessus, ben ça ne risque pas de se produire...

Bref, tel qu'elle l'énoncé semble passablement incohérent.
Un truc possible pour rectifier le tir, c'est de jeter aux orties le autres du début, sauf que là, ça devient absolument pas clair du tout de savoir quelles sont les modalité de tirage :
- La première personne peut- elle tirer 2 fois le même points ?
- La deuxième peut- elle tirer les 2 mêmes points que la première personne ? deux fois le même ?

Et ce que je te demandais clairement dans mon premier post, c'est d'éclaircir la situation.

P.S. : L'interprétation de L.A. semble plausible, mais elle consiste effectivement (et forcément...) à jeter à la poubelle le mot "autres" qui apparait dans l'énoncé et à rajouter ailleurs deux fois le mot "distincts" ("sommets distincts")

EDIT : comme je suis une grosse bille en Français, je suis allé vérifier dans le Larousse :
Autres : Distinct, différent des êtres ou des choses de même catégorie : Quelle autre solution voyez-vous ? Il a tué un lièvre et en a manqué deux autres.

[yoshi13]

D'abord merci pour vos messags,

Oui désolé j ai essayé d 'éclaircir pourtant, je n'ai pas d'énoncé sous les yeux, cela a été donné à la va vite a la fin d un cours et de facon oral, donc meme pour moi tout n etait pas clair.

Effectivement; choisir le meme sommet et reduire le segment à un point est interdit

L'énoncé était surement vague pour qu on le reéxprime en terme de proba conditionnelles

Maintenant que l'on est revenu dessus et qu on la corrigé je peux apporter plus de précision

on est partit de C = " les deux segments se croisent en un unique et point qui n'est pas un sommet"

On créé l evenement D: "les 4 sommets choisis sont différents"
ceci est un sur evenement de C.

donc C inclu dans D
P(C) = P(CinterD) + P(C inter D complémentaire) ce dernier vaut 0
il reste P(CinterD)

On écrit P(C) = P(D) x P(C|D)

de plus il faut que les 4 sommets soient dans le meme plan.
on crée l evenement A = " les 4 sommets sont coplanaires"

On a: C = D inter A inter C
donc P(C) = P(D) x P(A|D)xP(C|DinterA)

P(D) = je choisis un sommet X1, puis un sommet X2 différent de X1, puis un sommet X3 différent de X1 et X2 ...

on a P(D) = (7/8)(6/8)(5/8) = 105/256

P(A|D): on a choisit 4 point parmi 8 et il y a 12 faces possible donc : 12/(4parmi8) = 6/35

Maintenant sachant qu'ils sont coplanaires, c 'est comme si on regardait un rectangle, une fois qu on à choisit un sommet il en reste 3 possibles donc P(C|DinterA) = 1/3

Au final on a P(C) = 3/128

[yoshi13]

peut etre qu il y a un chemin plus facile, je trouve la solution tres lourde à écrire et pas tjr tres claire

[beagle]

je ne trouve pas ça plutôt un truc genre :2/35

[Ben314]

Perso, ce que je trouve surtout très chiant, c'est d'être obligé d'aller regarder pas à pas la correction de d'exercice pour pouvoir en déduire... quel était l'énoncé...

P.S. Et si un énoncé est flou (i.e. qu'il y a plusieurs interprétations possible), c'est bien évidement pas en l'écrivant en terme de "proba conditionnelle" (ni en terme de quoi que ce soit d'ailleurs) que ça va le rendre moins flou !!!!
Donc là, la seule solution, c'est de regarder la correction pour en déduire que c'est telle ou telle interprétation que le prof. a donné à l'énoncé (interprétation bien entendu totalement arbitraire....)
Par exemple, lorsque l'on lit dans sa correction que P(D)=... qui n'est pas égal à 1, ben ça signifie que le mot autres ("... deux autres sommets...") contenu dans l'énoncé (et dont je me suis fendu d'aller chercher la définition dans le Larousse pour vérifier), ben il a fait comme s'il n'existait pas.

[beagle]

ouf oui faut se farcir la correction, je croyais que c'était le raisonnement de yoshi13
donc le
105/256 est fois 2/35 = 3/128
yes.
mais j'ai pas suivi les conditions de la correction et le coplanaire, le croisement des grandes diagos ne sont pas coplanaires, ou la la
mon 2/35 est misérable mais c'est pas sorcier non plus:
(3/7 x 0 + 3/7 x 2/6 x 1/5 + 1/7 x 6/6 x 1/5)

[Ben314]

Et en "dépouillant " encore plus la preuve donnée, ça :

Effectivement; choisir le meme sommet et reduire le segment à un point est interdit

Et ça :

... on a P(D) = (7/8)(6/8)(5/8) = . . .

C'est totalement contradictoire l'un avec l'autre vu que le 7/8 du début du calcul signifie qu'on considère qu'il y a 1 chance sur 8 que le deuxième point choisi par le premier joueur soit le même que le premier point choisi par ce même joueur.
Et ça signifie bien évidement qu'il n'était pas interdit de choisir deux fois le même point vu que si ça avait été interdit, ben la proba d'un tel évènement aurait clairement été égale à zéro.

Bref, LA interprétation du prof est (évidement) une interprétation parmi d'autres et rien de plus et si en plus il a effectivement écrit ces deux lignes là alors son interprétation est incohérente.

[yoshi13]

Oui je suis désolé c'est tout le temps comme ça dans notre cours.

Merci en tout cas pour votre temps et vos réponses.