Probabilités : convergence presque sûre

[Papouille2]

Bonjour,

Je ne comprends pas la justification de Sylvie Méléard dans son livre "Aléatoire" sur l'introduction à la théorie des probabilités, concernant la convergence presque sûre d'une suite de variables aléatoires.

Definition de Sylvie Méléard de la convergence nulle : "la suite (Xn) converge presque sûrement vers X, s'il existe un ensemble N appartient à A de probabilité nulle tel que Xn(w) tend vers X (w) quand n tend vers l'infini pour tout w n'apppartenant pas à N."

A est une tribu sur Omega, espace d'états.

Exemple donné par Sylvie Méléard: "soit U une variable aléatoire uniforme sur [0 ; 1]. Posons Zn=1 pour U inférieur ou égal à 1, 0 sinon. Alors prob (Zn=1) = 1/n et Prob (Zn=0) = 1-1/n".

Alors: "la suite Zn converge presque sûrement vers 0".

Explication de Sylvie Méléard: "En effet si w est fixé alors dés que U(w) > 0 (ce qui est vrai avec probalilité 1) il existe n0 tel que U(w) > 1/n0, et donc tel que Zn(w) = 0, pour tout n plus grand ou égal à n0".

Je comprends bien la justification que Xn(w) tend vers 0, 0 étant alors vu comme une variable aléatoire de valeur fixe. Mais où est l'ensemble N de probabilité nulle de la définition ?

Il faut bien que cet ensemble existe pour que la définition soit remplie, non ?

Merci pour vos lumières !

[GaBuZoMeu]

Bonsoir,
Tu as fait une coquille : il faut lire "Posons pour inférieur ou égal à ".
Ensuite, Sylvie Méléard t'a donné l'ensemble : c'est le complémentaire de l'ensemble des tels que , c.-à-d. l'ensemble des tels que .

[Papouille2]

Merci. Oui, pardon pour la coquille.

Merci pour l'ensemble N. Je comprends qu'il est de probabilité nulle pour n infini.

A-t-on a le "droit" de donner un ensemble "négligeable" (N ici) pour un rang n non réel (car N est de probabilité nulle seulement pour n infini, or n infini n'est jamais atteint, donc la probabilité nulle n'est jamais atteinte non plus) ?

Un grand merci !

[GaBuZoMeu]

Merci pour l'ensemble N. Je comprends qu'il est de probabilité nulle pour n infini.

Qu'est-ce que ça veut dire ? Il n'y a aucun qui intervient dans la définition de l'ensemble .
Je répète : est l'ensemble des tels que . Aucun là-dedans ! Et ce est de mesure de probabilité nulle puisque, comme a une loi uniforme sur , la probabilité de l'évènement , que l'on note souvent , est nulle.

[Papouille2]

Merci je comprends mieux.
Je cherche maintenant à expliciter les éléments .

Je pense à:
=
=
(...)
=

Ainsi :
Z1 = 1 pour tout
Z2 = 0, Z2 = 1, Z2 = 1 ... etc
Z3 = 0, Z3 = 0, Z3 = 1 ... etc

Est-ce correct ?

[GaBuZoMeu]

Non, ça ne va pas du tout. Je crois que tu ne comprends pas la notion de variable aléatoire (je reconnais que ce n'est pas tout simple).
C'est quoi, ton ? C'est quoi, sa mesure de probabilité ? C'est quoi, ta variable aléatoire qui a une loi uniforme sur

[Papouille2]

Bonjour,

Merci de continuer sur ce sujet. J'ai revu le texte de Sylvie Méléard pour répondre précisément à chacune des trois questions :

C'est quoi mon ?

C'est l'espace de tous les résultats possibles de mon expérience aléatoire "tirage d'un nombre compris entre 0 et 1". C'est donc l'intervalle [0 ; 1].
Un résultat possible de cette expérience est noté .
Je pourrais alors penser que est un nombre compris entre 0 et 1. Sauf que j'ai écarté cette possibilité pour la raison que je donne ci-après.

C'est quoi la mesure de probabilité de

p() = 1.

Une [mesure de] probabilité est une application d'un ensemble de parties de (parties composées de certains résultats de l'expérience, on appelle ces parties "événements") dont on peut mesurer la chance de réalisation, vers [0 ; 1].

Donc pour moi, si est un réel, alors P() = 0. Si est un intervalle, alors P() est non nul. Voilà pourquoi j'ai proposé des intervalles.

C'est quoi ma variable aléatoire U

C'est une fonction de la variable .
La variable aléatoire U est une application de l'espace probabilisable (, A) [ou A est la tribu des événements de ) dans un ensemble F :

F

Ici F est l'intervalle [0 ; 1]

[GaBuZoMeu]

Il reste tout de même pas mal de confusion dans ce que tu écris. Essayons d'y voir plus clair.
Tu prends , c'est un choix raisonnable. Quand je demandais la mesure de probabilité, ce n'était bien sûr pas seulement le fait que la mesure de l'espace complet est 1. Bon, on prend la mesure de Lebesgue, celle pour laquelle la mesure de proba de l'intervalle contenu dans est .
Un élément est un nombre réel dans , ce n'est pas un intervalle !
La variable aléatoire est tout simplement l'identité : (je rappelle que est un réel dans ).
Ce qui est important, c'est la loi de . C'est bien la loi uniforme sur .

[Papouille2]

Bonjour,

Oui. J'ai continué à réfléchir après avoir écrit.

En fait, je commets l'erreur de penser qu'un candidat pour doit avoir une probabilité non nulle. Ce qui m'amène à penser à un intervalle de [0 ; 1] pour .

Or rien n'interdit que cette probabilité soit nulle pour .

Car pour identifier on ne s'intéresse pas à la probabilité d'obtenir : seule entre en jeu la valeur prise par .

La probabilité d'obtenir est d'ailleurs nulle aussi.

J'ai donc qui est en réalité un nombre réel compris entre 0 et 1 et est de probabilité nulle.

Oui. Je comprends que dans mon cas est égal à .

Merci beaucoup pour votre aide.

[Papouille2]

Pardon, par je veux dire mais je ne peux plus modifier le message précédent.

[GaBuZoMeu]

Ce n'est visiblement pas encore très clair.
La variable aléatoire , toujours dans la formalisation où muni de la mesure de probabilité de Lebesgue et , est la fonction définie par si et si . On a donc et . La probabilité que prenne la valeur n'est donc jamais nulle. Ce qui se passe, c'est que pour tout , la suite converge vers 0 : elle vaut en fait 0 à partir d'un certain rang. Comme la mesure de proba de est nulle, cela veut dire que la suite de variables aléatoires converge presque sûrement vers 0.

[Papouille2]

Oui, pardon pour la coquille, la probabilité nulle est celle de U(), et non pas celle de , puisque U() = . Pour le reste, vos explications sont claires.

Merci beaucoup.