Espace de Hardy, convergence presque sûre

[Nightmare]

Bonjour :happy3:

Dans mes révisions, je bloque sur cet exercice qui ne me semble vraiment pas facile. Voici l'énoncé :

Soit (application harmonique telle que ).

1) Montrer pour l'existence d'une application telle que

2) Montrer que la suite des converge presque sûrement vers

(on travaille avec la mesure de Lebesgue)

La première question me bloque déjà, il doit me manquer un outil.

Merci de votre aide.

[Nightmare]

J'ai réussi à me concocter une preuve pour le 1) :

On se fixe une suite convergeant vers 1, vu que la suite de fonctions est bornée elle admet une valeur d'adhérence g dans pour la topologie faible-* .

On a alors la convergence pour tout u dans le dual :


et on conclut en prenant le cas particulier où u est le noyau de Poisson et en utilisant la formule de Poisson on peut conclure.

Qu'en pensez-vous?

[Nightmare]

Personne pour la 2ème? Je ne vois vraiment pas comment la montrer :(

[xyz1975]

Pour la première tu n'as pas essayé la 2ieme variante du théorème de représentation? c'est plus simple.

[Nightmare]

Salut :happy3:

Merci de ta réponse, je n'avais pas vu qu'il y en avait une je croyais que le topic était tombé à l'eau.

Qu'appelles-tu deuxième variante du théorème de représentation? On parle de celui de Riesz?

Je pensais utiliser le théorème de Lebesgue mais je n'y arrive pas.

[quinto]

Quel théorème de Lebesgue ?
Ca ne me semble pas difficile, mais sans résultat puissant ca me semble non trivial ...
Il me semble que c'est simplement une conséquence du théorème de Fatou, mais ce n'est peut être pas le cas puisque je ne comprend pas une chose.
x se balade comment ? Tu parles de suites mais tu as un parametre dans (0,1), c'est plutot une famille indénombrable.
Si x est croissant vers 1 alors je pense que ce que je dis tiens la route.

[Nightmare]

Salut l'ami,

Oui c'est bien ça, x est croissant vers 1. Je pensais au théorème qui disait que les primitives d'une fonction L1 sont dérivables presque partout. Il m'a été conseillé d'utiliser ce théorème mais je ne vois vraiment pas comment l'appliquer ici.