Probabilité

[Anonyme]

Bonjour, pouvez vous m'aider à démarrer cet exercice car je bloque sur pas mal de point. merci

Une secrétaire effectue n appels téléphoniques vers n correspondants distincts (n
>= 2). Pour chaque appel, la probabilité d'obtenir le correspondant
demandé est égale à p appartenant à ]0, 1[ et la probabilité de ne pas l'obtenir est q, avec q = 1 —
p.
1. Soit X le nombre de
correspondants obtenus lors de ces n appels. Quelle est la loi de X ?
Préciser l'espérance E(X) et la variance V(X).
2. Après ces n recherches,
la secrétaire demande une deuxième fois chacun des n — X correspondants
qu'elle n'a pas obtenus la
première fois. Soit Y le nombre de correspondants obtenus dans la
deuxième série d'appels, et Z = X + Y le
nombre total de correspondants obtenus.

a) Quelles sont les valeurs prises par Z ?
(b)
Calculer p0 = P(Z = 0),p1 = P(Z = 1). Montrer que p1= npq2n-2(l + q).

(c) Calculer les probabilités conditionnelles P(x=k)(Y =
h) pour k et h appartenant à {0, 1, ... ,
n}.

(d) Justifier P(Z = s) = sum P((X
= k) n (Y= s - k)) de k=0 à s.
vérifier que (n/ k)=(n-k/s-k)=(n/s)(s/k)
(f) Calculer ps=
P(Z = s), et montrer que Z suit
une loi binomiale de paramètres n et p(l + q); pouvez-vous donner
une justification probabiliste du résultat.