Probabilité

[jeremy58]

Bonjour a tous,
Je suis en train de préparer mon DS de probabilité et ces exercices me posent problemes. Pourriez vous m'aider?

Exercice 1

Soit X une variable aléatoire de densité 1/Pi sur [-Pi/2 ; +Pi/2] et 0 sinon.

1) Calculer l’espérance mathématique et l’écart type de X.(je l'ai deja fait)

2) On pose Y = X². Calculer la densité de Y, et son espérance mathématique.

3) On pose Z = tan (X). Calculer la densité, la fonction caractéristique de Z et son espérance.

Exercice 2

Une urne contient des boules numérotées de 1 à N. On effectue n tirages avec remise. On désigne par X la variable aléatoire désignant le plus grand nombre amené.

Calculer la fonction de répartition et l’espérance de X.

Exercice 3

Soit X et Y un couple de variables aléatoires indépendantes dont chacune suit une loi normale réduite N (0,1). On pose U=2X et V=X-Y. Calculer la loi de T=(X,Y) et du couple (U,V). En déduire les densités des lois de U et V.
Retrouver ce résultat en utilisant les fonctions caractéristiques.

[fahr451]

bonsoir

Y est à valeurs ds [ 0; (pi/2)^2 [ F sa fct de répartition
pour y <0 F(y) = 0 , pour y>(pi/2^)2 F(y) = 1

pour 0=
F(y) = P ( X^2 =< y) = P( -racine(y) = < X=2 racine (y) /pi

F est continue sur R , C1 sur R \ { 0,(pi/2)^2}

donc Y admet une densité obtenue par dérivation de F

E(Y) = E(X^2) = Var(X) +E(X) ^2

[mathelot]

F est continue en pi/2 ?

[BQss]

bonsoir

Y est à valeurs ds [ 0; pi/2 [ F sa fct de répartition
pour y <0 F(y) = 0 ,

pour 0=<y

F(y) = P ( X^2 =< y) = P( -racine(y) = < X=<racine y) =
2 racine (y) /pi*1{racine(y)<pi/2} + 1

F est continue sur R , C1 sur R \ { 0,pi/2}

donc Y admet une densité obtenue par dérivation de F

E(Y) = E(X^2) = Var(X) +E(X) ^2

salut, rapidement, juste une tite correction en gras, (si non on peut passer directement par la densité de X par un changement de variable)

[fahr451]

lire (pi/2)^2 bien sûr et non pi/2

[BQss]

lire (pi/2)^2 bien sûr et non pi/2

ouai avec ca c'est bon . Bonne soirée a toi au fait au passage.