Probabilité 1

[haloie]

Bonjour, j'ai une question de devoir que je n'arrives pas a faire sur les loi de probabilité :

Le jeu de carte est formé de 100 cartes, numérotees de 1 a 100.
Le jeu est bien mélangé. On fixe un entier n quelconque, avec n ≤ 100.

1. Elle tire n cartes du jeu, sans remise. On note X la variable aléatoire représentant le plus grand numéro obtenu parmi les cartes tirées.

(a) Trouver la loi de X.
(b) Montrer que l'expérience de X vérifie E[X] = 101n /n+1

2.La personne tire n cartes (avec n ≤ 100) du jeu, avec remise cette fois-ci. On note Y la variable aléatoire représentant le plus grand numéro obtenu parmi les cartes tir ́ees.

(a) Trouver la fonction de répartition de Y .
(b) En déduire la fonction de masse de Y .

[lyceen95]

Tâtonnons.
Quelle est la probabilité que le plus grand n° soit 0 ? bof.
Regardons plutôt l'autre extrémité, quelle est la proba que le plus grand n° soit 100 ?
Puis quelle est la proba que le plus grand n° soit 99 ? puis 98 ?
Et peut-être qu'on va voir se dessiner une formule ?
Au moins, on aura essayé, et on pourra expliquer au prof ce qu'on a fait.

[issoram]

Bonjour,

Pour la question 1:
Comme te l'a conseillé lycéen95, il faut y aller par étapes pour dégager une formule.

Considère déjà les cas simples où la personne tire sans remise:

• 
• 
• 

Dans chacun de ces cas, regarde quelles sont les valeurs possibles pour X et les probabilités associées (i.e. sa loi).

Grâce à ces résultats, tente de faire la même chose pour

Tu pourras alors en déduire une formule générale pour

[issoram]

1.a.
Soit : la variable aléatoire représentant le plus grand numéro obtenu parmi les cartes tirées
Soit le nombre de cartes tirées

• 
  
  
• 
  
  
• 
  
  
• 
  

On en déduit alors la loi de :

[issoram]

1.b.
De ce qui précède, on établit un résultat intermédiaire:

Ainsi



On en déduit:




Calculons l'espérance de

Or, par la formule de factorisation des coefficients binomiaux, on a



Ainsi



Soit

[issoram]

Pour en finir avec le sujet:

2. a.

Soit le nombre de cartes tirées.
Soit : la variable aléatoire représentant le numéro obtenu au tirage n°
Soit : la variable aléatoire représentant le plus grand numéro obtenu parmi les cartes tirées.

On a



Ainsi, la fonction de répartition de est donnée par:





2. b.
On en déduit alors la loi de