Probabilité 1
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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haloie
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par haloie » 02 Déc 2022, 00:37
Bonjour, j'ai une question de devoir que je n'arrives pas a faire sur les loi de probabilité :
Le jeu de carte est formé de 100 cartes, numérotees de 1 a 100.
Le jeu est bien mélangé. On fixe un entier n quelconque, avec n ≤ 100.
1. Elle tire n cartes du jeu, sans remise. On note X la variable aléatoire représentant le plus grand numéro obtenu parmi les cartes tirées.
(a) Trouver la loi de X.
(b) Montrer que l'expérience de X vérifie E[X] = 101n /n+1
2.La personne tire n cartes (avec n ≤ 100) du jeu, avec remise cette fois-ci. On note Y la variable aléatoire représentant le plus grand numéro obtenu parmi les cartes tir ́ees.
(a) Trouver la fonction de répartition de Y .
(b) En déduire la fonction de masse de Y .
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lyceen95
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par lyceen95 » 02 Déc 2022, 01:21
Tâtonnons.
Quelle est la probabilité que le plus grand n° soit 0 ? bof.
Regardons plutôt l'autre extrémité, quelle est la proba que le plus grand n° soit 100 ?
Puis quelle est la proba que le plus grand n° soit 99 ? puis 98 ?
Et peut-être qu'on va voir se dessiner une formule ?
Au moins, on aura essayé, et on pourra expliquer au prof ce qu'on a fait.
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issoram
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par issoram » 02 Déc 2022, 13:18
Bonjour,
Pour la question 1:Comme te l'a conseillé lycéen95, il faut y aller par étapes pour dégager une formule.
Considère déjà les cas simples où la personne tire sans remise:
Dans chacun de ces cas, regarde quelles sont les valeurs possibles pour X et les probabilités associées (i.e. sa loi).
Grâce à ces résultats, tente de faire la même chose pour
Tu pourras alors en déduire une formule générale pour
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\mathbb{P}(X=k))
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issoram
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par issoram » 06 Déc 2022, 23:20
1.a.Soit
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?X)
: la variable aléatoire représentant le plus grand numéro obtenu parmi les cartes tirées
Soit
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?n)
le nombre de cartes tirées
On en déduit alors la loi de
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?X)
:
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\mathbb{P}(X=k) = \begin{cases} \frac{\dbinom{k-1}{n-1}}{\dbinom{100}{n}}, & \text{si }k \geq n \\ 0 & \text{sinon} \end{cases})
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issoram
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par issoram » 09 Déc 2022, 01:09
1.b.De ce qui précède, on établit un résultat intermédiaire:
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\sum_{k=1}^{100} \mathbb{P}(X=k) = \sum_{k=n}^{100} \mathbb{P}(X=k) =\sum_{k=n}^{100}\frac{\dbinom{k-1}{n-1}}{\dbinom{100}{n}} = 1)
Ainsi
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\sum_{k=n}^{100}{\dbinom{k-1}{n-1} = \dbinom{100}{n})
On en déduit:
Calculons l'espérance de ![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?X)
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\mathbb{E}(X)=\sum_{k=1}^{100} k \times \mathbb{P}(X=k)=\sum_{k=n}^{100} k \times \mathbb{P}(X=k) =\sum_{k=n}^{100} k \frac{\dbinom{k-1}{n-1}}{\dbinom{100}{n}}=\frac{\sum_{k=n}^{100} k \dbinom{k-1}{n-1}}{\dbinom{100}{n}})
Or, par la formule de factorisation des coefficients binomiaux, on a
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?k \dbinom{k-1}{n-1} = n \dbinom{k}{n})
Ainsi
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\mathbb{E}(X)=\frac{\sum_{k=n}^{100} n \dbinom{k}{n}}{\dbinom{100}{n}}=n \times\frac{\sum_{k=n}^{100} \dbinom{k}{n}}{\dbinom{100}{n}} \overset{(1)}{=} n \times \frac{\dbinom{101}{n+1}}{\dbinom{100}{n}})
Soit
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\mathbb{E}(X)=n \times \dfrac{ 101!\times n! \times(100-n)!}{(n+1)! \times (100-n)! \times 100!} =\dfrac{ 101 n }{n+1})
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issoram
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par issoram » 13 Déc 2022, 23:54
Pour en finir avec le sujet:
2. a. Soit
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?1 \leq n \leq 100)
le nombre de cartes tirées.
Soit
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?X_i)
: la variable aléatoire représentant le numéro obtenu au tirage n°
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?i)
Soit
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?Y)
: la variable aléatoire représentant le plus grand numéro obtenu parmi les cartes tirées.
On a
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\mathbb{P}(X_i \leq k) = \dfrac{k}{100} \textrm{ et }Y = \underset{ 1 \leq i \leq n}{\max} (X_i))
Ainsi, la fonction de répartition de
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?Y)
est donnée par:
2. b. On en déduit alors la loi de
![](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\mathbb{P}(Y=k) = \mathbb{P}(Y \leq k) - \mathbb{P}(Y \leq k-1) =\dfrac{k^n-(k-1)^n}{100^n} ~,~ 1 \leq k \leq 100)
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