Probabilité

[Maths-ForumR]

##### ERREUR D AFFICHAGE ######

[Ben314]

Salut,
Déjà (et comme très souvent...)

1) L'énoncé n'est pas assez précis pour pour pouvoir conclure : il semblerais qu'il faille deviner que les deux loi X et Y d'arrivé des véhicules dans les deux sens sont indépendantes (sinon, on ne peut rien calculer)

2) Le truc à calculer n'est pas clair du tout : j'opterais pour interpréter le "...sur n voitures attendant au péage..." en terme de proba conditionnelle, mais c'est discutable, on pourrait aussi le voir sous la forme "Dans le cas où il y a plus de n voitures qui attendent (=proba conditionnelle), on en tire au hasard n et on veut savoir la proba que..."

Bref, j'opterais pour le fait que X et Y sont deux v.a. indépendantes suivant des loi de Poisson de paramètre a et b que le truc qu'on doit calculer, c'est où |="sachant que".
Et pour calculer , il suffit de revenir à la définition de ce qu'est une proba conditionnelle.

[Maths-ForumR]

Donc on a :

p= P((X=k)∩(X+Y=n)) / P(X+Y=n)

Mais je ne vois pas comment avancer après

[zygomatique]

salut

la somme de deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Poisson suit aussi une loi de Poisson ....

[Maths-ForumR]

Mais j'ai un petit souci si X et Y sont indépendantes P((X=k)∩(X+Y=n)) = P(X=k) . P(X+Y=n)

Et donc p= P((X=k)∩(X+Y=n)) / P(X+Y=n) = P(X=k)
Mais c'est faux non ?

[Ben314]

Évidement que c'est faux !
Si X et Y sont indépendantes, ça ne prouve absolument pas que X et X+Y le sont :
Si tu jette deux dès (à 6 faces, indépendant) et que tu sait que la somme X+Y fait 12, alors tu es sûr et certain que X=6
Il faudrait arriver à comprendre qu'en math., ce n'est pas le fait qu'un théorème semble "pratique" qu'il est vrai. (par exemple X et Y indépendantes => X et X+Y le sont : si c'était vrai, ça serait "pratique" pour les calculs)
Pour avoir une idée de si un truc a des chance d'être vrai ou pas, il faut commencer par du bon sens et là le bon sens (i.e. les deux dès à 6 faces), ça te dit immédiatement que le "théorème" en question, ben il est complètement faux.

Ca me fait penser aux Lycéens capable d'écrire (vu récemment) que
(cos3x cosx - sin3x sinx) - (cos3x cosx + sin3x sinx) = cos3x cosx - sin3x sinx + cos3x cosx - sin3x sinx
Alors que au moins dix ans plus tôt ils auraient été capable de calculer (8-1)-(3+2) ainsi que 8-1+3-2 et de vérifier que c'est pas la même chose.
Là, c'est pareil : a ton avis, il faut quel "bagage" en math pour comprendre que, si sait que la somme des valeurs de deux dés vaut 12 (ou 2), on peut en déduire la valeur du premier dès (et du second aussi...)

Bref, je râle, je râle, mais c'est pour te faire comprendre qu'on écrit pas des trucs "parce que ça fait joli", mais parce que ça a du sens.

[Maths-ForumR]

Ok.

Je n'"arrive pas a avancer

[Ben314]

Vu que X et Y sont indépendantes ça signifie que ce que tu sait "simplifier", c'est des proba du style p(X=... et Y=...) et c'est tout.
N'y aurait il pas moyen (via un GROS effort intellectuel...) d'écrire (X=k et X+Y=n) sous la forme (X=... et Y=...) ?
Et concernant le p(X+Y=n) par lequel il faut diviser pour avoir la proba. conditionelle, soit tu utilise ce que zygomatique a dit juste au dessus, soit tu fait le calcul "à la main" en décomposant X+Y=n en une somme (disjointe) de (X=... et Y=...) pour pouvoir les "simplifier".

Et vu que tu es zéro à l'aise avec ces trucs, je t'inciterais plus que fortement a utiliser la deuxième méthode pour t'entrainer (i.e. à redémontrer que la somme de deux v.a. indépendantes suivant toute les deux des loi de Poisson suit elle même une loi de Poisson).

[Maths-ForumR]

Donc P((X=k)∩(X+Y=n)) = P((X=k ∩ P(Y=n-k)) = P(x=k) . P(Y=n-k) car X et Y sont indépendantes

Et P(x=k) . P(Y=n-k) = e^(-a-b) . a^k . b^(n-k) . (1/ k!) . (1/(n-k))!