Probabilité

[dream2passion]

Bonjour,

J'ai du mal à faire mon exo . Voilà l'énoncé :" Une urne contient 6 boules dont 4 blanches et 2 noires. On extrait une boule de l'urne, on note sa couleur, puis on la remet dans l'urne. On effectue ensuite des tirages sans remise jusqu'à l'obtention d'une boule de la même couleur que précédement. Déterminer la loi de probabilité du nombre X de tirage après remise de la boule tirée initialement.

J'ai fait un arbre. Mai j'ai du mal avec la suite.

Pourrier vous m'aider en me donnant quelques piste de réponse?

Merci d'avance.
Bonne journée.

[barbu23]

Bonjour, :happy3:
En fait, l’expérience énoncé dans ton problème ressemble fort à une distribution qui suit une loi géométrique, à quelques petites différences près, qui est que dans le cas de la loi géométrique, la succession des tirages donne des issus indépendantes les uns des autres, ce qui n'est pas le cas de ton tirage ( sans remise, malheureusement ).
Donc, essaye de voir de ce coté là, vérifie ce qu'est d'abord une loi géométrique, ensuite, fais un effort pour décrire la loi que tu recherches en s'inspirant de la loi géométrique.
Cordialement. :happy3:

[DamX]

Bonjour,

Si tu as déjà réalisé l'arbre complet (avec à la racine le choix de couleur de la boule initiale, puis les tirages jusqu'à retrouver la même couleur), l'exercice est fini.
Pour chaque feuille de ton arbre tu connais sa probabilité d'être réalisée (produit des probas à chaque noeud jusqu'à la feuille), et chaque feuille est liée à un nombre d'essais pour retrouver la couleur.
Tu n'as donc plus qu'à regrouper les feuilles par nombre d'essais et sommer leur probabilité pour obtenir la loi : pour X = 1, je regarde toutes les feuilles de l'arbre qui correspondent à une situation ou on est retombé sur la même couleur du premier coup : il y en a deux : boule initiale Noire puis premier tirage Noir, et Boule initial blanche puis 1er tirage blanc. On somme leurs probabilités et ça nous donne la probabilité de X=1. Même chose pour X=2,3...

Damien

[barbu23]

Re-bonjour :
Puisque le tirage se fait sans remise, alors là, on a affaire à des probabilités conditionnelles ( vaut mieux construire un arbre pondéré à une seule branche pour comprendre comment cela fonctionne ). Le tirage suivant est toujours influencé par le tirage précédent, car le tirage s'effectue sans remise.
Donc, contrairement à la loi géométrique qui donne une succession de tirage indépendantes, ( donc pas de probabilités conditionnelles ) où on obtient comme loi : , ici les successions de tirages se font sans remise ( donc, il y'a probabilités conditionelles ), où la loi est définie par : avec : à définir combinatoirement où . J'ai du mal à trouver la formule pour le moment. :hum:
On peut en déduire la formule par récurrence : On cherche ensuite ensuite ensuite avec à déterminer.

[dream2passion]

J'ai fait sa :
P(X=1)= P(B;B)+P(N;N)=2/3*2/3+1/3+1/3=5/9
P(X=2)=P(B;N;B)+P(N;B;N)=2/3*1/3*4/5+1/3*2/3*2/5=4/15
P(X=3)=P(B;N;N;B)+P(N;B;B;N)=2/3*1/3*1/5*1+1/3*2/3*3/5*1/2=1/9
P(X=4)=P(N;B;B;B;N)=1/3*2/3*3/5*1/2*2/3=2/45
P(X=5)=P(N;B;B;B;B;N)=1/3*2/3*3/5*2/4*1/3*1=1/45

[Ben314]

Salut,
S'il y a noires et blanches (je deteste les valeurs numériques...) et qu'on cherche la proba. qu'il faille attendre tirages pour tirer la première blanche (avec ), on a :
(proba de tirer directement une blanche)
(tirer une noire puis une blanche sur les restantes)
(noire puis noire puis blanche)

...


Idem pour les noires avec (pour )

Et la proba recherché est donc

Bon, O.K., j'admet que dans un exo avec et , c'est p'têt pas ça qui est attendu comme réponse... :doh:

[barbu23]

J'ai fait sa :
P(X=1)= P(B;B)+P(N;N)=2/3*2/3+1/3+1/3=5/9
P(X=2)=P(B;N;B)+P(N;B;N)=2/3*1/3*4/5+1/3*2/3*2/5=4/15
P(X=3)=P(B;N;N;B)+P(N;B;B;N)=2/3*1/3*1/5*1+1/3*2/3*3/5*1/2=1/9
P(X=4)=P(N;B;B;B;N)=1/3*2/3*3/5*1/2*2/3=2/45
P(X=5)=P(N;B;B;B;B;N)=1/3*2/3*3/5*2/4*1/3*1=1/45

[Ben314]

Application Numérique : , donc

En regardant la 4em colonne du triangle de pascal, les valent , , .

En regardant la 2em colonne du triangle de pascal, les valent , , , , .

Donc les valent , , , , .

J'ai fait sa :
P(X=1)= P(B;B)+P(N;N)=2/3*2/3+1/3+1/3=5/9
P(X=2)=P(B;N;B)+P(N;B;N)=2/3*1/3*4/5+1/3*2/3*2/5=4/15
P(X=3)=P(B;N;N;B)+P(N;B;B;N)=2/3*1/3*1/5*1+1/3*2/3*3/5*1/2=1/9
P(X=4)=P(N;B;B;B;N)=1/3*2/3*3/5*1/2*2/3=2/45
P(X=5)=P(N;B;B;B;B;N)=1/3*2/3*3/5*2/4*1/3*1=1/45

donc c'est bon !!!