Probabilité et analyse : Martingales

[BertrandR]

Bonjour à tous,

Je suis en école d'ingénieur en spécialité math appliquées avec dominante proba-stats, et je me pose une question par rapport à l'application de la théorie des probabilités à l'analyse :

Pour cela je pense qu'il faut partir du cadre suivant : on considère par exemple [0,1] muni de la tribu des boréliens. Les fonctions mesurables sont alors les variables aléatoires.

Si on considère une fonction f quelconque et la suite de variables aléatoires , et la filtration associée (au passage cette filtration correspond à quoi en terme d'analyse, à la grille des dyadiques ?) , que pensez-vous de la fonction (en dehors de ses propriétés probabiliste, comme martingale, convergence etc...) ? Quelle tête a-t-elle ? Si je dis pas de bêtise pour la filtration c'est une approximation de f sur la grille dyadique non ?

Après pour l'utilisation de la théorie des martingales ça ne me pose pas de problème mais j'ai du mal à voir la signification analytique de ce que je fais. Avec ça on peut prouver de superbes résultats avec une simplicité déconcertante : si f est lipschitzienne alors il existe h intégrable telle que ...

Bref pour résumer la question est la suivante : pouvez vous éclairer les quelques points nécessaires au parallèle et si vous avez m'indiquer des références bibliographiques pour creuser cette application des probas à l'analyse ?

Merci d'avance !

B.R.

[DamX]

Bonjour,

Oui chaque Xk peut prendre un nombre fini de valeurs et les intervalle antécédents générant ces valeurs sont découpés selon la grille dyadique des 1/2^k.

Dans ta filtration Fn, toute l'information est contenue dans son dernier élément Xn, ceux d'avant contiennent strictement moins d'information.

Ainsi si f était potentiellement une variable aleatoire continue, E[f|Fn] est à présent une variable aléatoire discrète pouvant prendre 2^n valeurs qui valent la moyenne de f sur chaque intervalle de la grille. Dit autrement en terme de fonction, c'est bien une approximation de f sur la grille dyadique qui est donc constante par morceaux et dans chaque intervalle tu prends la moyenne de f sur cet intervalle.

C'est un peu loin pour moi tout ça, j'espère ne pas t'avoir raconté de bêtises.

Tu as tous les cours en ligne sur les martingales en temps discret mais aussi sur l'introduction au calcul stochastique de Nizar touzi de 2A et 3A de l'X. http://www.cmap.polytechnique.fr/~touzi/. Tu devrais trouver ton bonheur dedans.

Et pour aller plus loin tu peux jeter un œil sur le cours d'El Karoui de Paris VI ou celui de Lamberton (Paris XII) (peut être même mieux sur le plan technique/analyse) qui traitent du calcul stochastique niveau M2. Je n'ai pas vérifié s'ils étaient en ligne.

Damien

[Deliantha]

Et pour aller plus loin tu peux jeter un œil sur le cours d'El Karoui de Paris VI ou celui de Lamberton (Paris XII) (peut être même mieux sur le plan technique/analyse) qui traitent du calcul stochastique niveau M2. Je n'ai pas vérifié s'ils étaient en ligne.

Damien

Helloo,

après une petite incursion indexée sous Google, voilà les cours indiqués désormais à portée de main :

- Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance, de Damien Lamberton, Bernard Lapeyre

- Couverture des risques dans les marchés financiers, par Nicole El Karaoui de l'Ecole Polytechnique

[DamX]

Helloo,

après une petite incursion indexée sous Google, voilà les cours indiqués désormais à portée de main :

- Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance, de Damien Lamberton, Bernard Lapeyre

- Couverture des risques dans les marchés financiers, par Nicole El Karaoui de l'Ecole Polytechnique

alors en effet, le cours d'El Karoui est beaucoup moins technique que ce que je pensais (par rapport au problème de Bertrand), il attaque direct sur la finance. En revanche le lien de Lamberton ce n'est pas le cours auquel je pensais (ça c'est un cours niveau M1), et je doute que son cours de M2 (qui traite beaucoup de la théorie de la mesure et des filtrations) est en ligne vu qu'il écrivait tout au tableau et que je ne l'ai jamais vu avec la moindre feuille de cours imprimée .

Mais pour les sujets qui préoccupent Bertrand, à mon avis les cours de Touzi (qui étaient avant tenus par El Karoui) sont ceux qui collent le mieux.

[BertrandR]

alors en effet, le cours d'El Karoui est beaucoup moins technique que ce que je pensais (par rapport au problème de Bertrand), il attaque direct sur la finance. En revanche le lien de Lamberton ce n'est pas le cours auquel je pensais (ça c'est un cours niveau M1), et je doute que son cours de M2 (qui traite beaucoup de la théorie de la mesure et des filtrations) est en ligne vu qu'il écrivait tout au tableau et que je ne l'ai jamais vu avec la moindre feuille de cours imprimée .

Mais pour les sujets qui préoccupent Bertrand, à mon avis les cours de Touzi (qui étaient avant tenus par El Karoui) sont ceux qui collent le mieux.

Malheureusement je connais bien les cours de N. Touzi, et il n'y a pas (enfin dans les versions que je connais si je dis pas de bêtise encore une fois) d’éléments de réponse à mes questions... Il y a tout le développement nécessaire à l'utilisation, mais pas d'exemples de résultats démontrables ou autre...
(Enfin je ne parle pas de problèmes plus complexes comme celui de Dirichlet qui se résout par des méthodes probabilistes, je cherche un niveau encore plus basique qui permettrait justement de trouver les idées qui conduisent à poser ce genre de problème de façon probabilistes alors qu'il semble s'agir à première vue de problèmes d'analyse purs.)

Pourtant je ne dois pas être le premier à m'intéresser à la question ! Peut être dans la bibliographie anglophone ? Dommage que Lamberton n'ait pas de poly...

Merci pour ces réponses déjà en tout cas !

[DamX]

Tu rentrais du Bôb pour poster à cette heure là ? :we: