Convergence de Martingales

[Lostounet]

Bonjour,

J'ai besoin d'aide afin de traiter un problème en calcul stochastique.

On dit qu'un ensemble Y de variables aléatoires est u-intégrable si:


1 - Prouver qu'une variable aléatoire X de est U-intégrable

2. Prouver que si est une suite de variables u-intégrables alors elle est uniformément bornée dans

Pour la 1) j'ai procédé par convergence dominée... En disant que est dominée par |X|
et vu qu'elle tend vers 0 lorsque K tend vers l'infini (car |X| est ps finie) je peux passer la limite dans l'espérance.
Par contre puis-je supposer Y = {X} (singleton la variable aléatoire?) Puis-je alors virer le sup vu qu'on travaille sur une unique variable ?

2) J'ai essayé de décomposer l'espérance de la variable * l'indicatrice. Je vous tient au courant

[Ben314]

Salut,
Concernant le 2), j'ai rien regardé (et j'ai donc aucune idée de si "je saurais faire" ou pas vu que c'est la première fois que j'entends parler "d'ensemble Y de variables aléatoires u-intégrables" (*) )

Par contre, concernant la 1), ça me semble clair que, vu le contexte, le "une variable aléatoire" de l'énoncé signifie "le singleton formée d'une seule variable aléatoire" donc que ton Y={X}, c'est bien de ça que l'énoncé parle.
Ensuite, le "sup" pris sur un singleton {X} d'un certain truc, ben ça désigne effectivement la valeur en X du truc en question.

EDIT : (*) Quoi que, en relisant un tant soit peu le bidule et en considérant que le "u" de la définition, il est là pour dire "uniforme", ça tombe tout de suite dans un registre nettement plus classique...

[Matt_01]

Pour la deuxième question, si elles ne sont pas uniformément bornées dans L1, t'as une sous suite telle que .
Tu montres assez facilement que ca implique que et donc naturellement quelque soit n, et ca va donc être difficile de tendre vers 0.

[Lostounet]

Pour la deuxième question, si elles ne sont pas uniformément bornées dans L1, t'as une sous suite telle que .
Tu montres assez facilement que ca implique que et donc naturellement quelque soit n, et ca va donc être difficile de tendre vers 0.

Bonsoir,
Merci Ben et Matt de vous intéresser à mon problème.

En effet Ben, le U désigne le caractère "uniforme" (désolé si c'était pas clair).

En ce qui concerne la méthode de Matt, tu travailles par contraposition...

Non uniformément bornée signifie qu'une extraction de cette suite est pas bornée
cela ne signifie-t-il pas que

Ensuite sous quelle hypothèse puis-je scinder cette espérance?

J'étais parti sur quelque chose de semblable (mais en raisonnant directement). Pour tout élément B de la tribu de l'espace probabilisé , nous avons:
(il faut justifier le fait que je puisse scinder l'espérance...)
<= k*P(B) + un nombre fini (dont je vais essayer de justifier l'existence et qui serait fourni par l'intégrabilité uniforme). Qu'en pensez-vous?

[Matt_01]

Utilise le fait que

[Lostounet]

Je pense qu'on peut scinder l'espérance car on manipule des trucs positifs... qui peuvent valoir plus l'infini mais que c'est pas grave car pas de compensations possibles.

Ce que tu proposes ne permet-il pas alors d'affirmer que:


=>

=>


?
D'ailleurs ces inégalités c'est pour un n fixé d'avance?
Ne faudra-t-il pas que je le fasse tendre vers l'infini ?

[Lostounet]

On me demande ensuite de montrer pourquoi la réciproque est fausse (uniformément bornée n'implique pas U.Intégrable)

Avec comme aide: Considérer (X_n) telle que et

Le problème c'est que je ne sais pas comment passer à |X_n| ... X_n ne peut valoir que deux valeurs 1 et 0 avec proba non nulle) . Est-il exact que avec proba 1 (à partir de n=2) ?
Pour la non uniforme intégrabilité j'arrive toujours pas à bien manipuler (je penche aussi pour une extraction...)

[Lostounet]

Up. Quelqu'un aurait-il une idée?