Probabilités: Processus de Poisson et Martingales

[Ysech]

Bonjour à tous.

Lorsqu'il s'agit de prouver qu'un processus stochastique est une martingale, je bloque souvent sur la condition d'intégrabilité, ce qui peut paraître paradoxal vu que c'est souvent considéré comme la partie la plus facile.
En gros je ne sais jamais si ma démonstration est rigoureuse ou non à ce niveau là.

Ici, il s'agit du processus de poisson "compensé".
On définit N(t) comme étant un processus de poisson (de paramètre kt).
On définit le processus M(t) = N(t) - kt.
Le but est de prouver que M(t) est une martingale.

J'arrive à prouver que: E[M(t+1) | Ft] = E[M(t) | Ft], E désignant l'espérance et Ft étant la filtration naturelle jusqu'en t.

Il me faut maintenant prouver que: E[ |M(t)| ] < infini
Je procède ainsi:
puisque t et k appartiennent à R+, E[ | N(t) - kt | ] < E [ | N(t) | ]
(déjà, je ne suis pas sûr de cette étape...si un connaisseur pouvait confirmer)

Par définition, N(t) est un processus de poisson et prend donc ses valeurs dans N, l'ensemble des entiers naturels.
Donc je peux enlever la valeure absolue:

E [|N(t)|] = E[ N(t) ]

A cette étape, je bloque un peu:
1) Soit je dis: pour tout t, N(t) est un entier naturel, donc l'esperance est également un entier naturel, et donc c'est une valeur finie, ce qui termine la démonstration.
2) Soit je dis: par définition d'un processus de poisson, E[N(t)] = kt
A ce niveau là, mon raisonnement bloque car k et t appartiennent à R+, et je n'arrive donc pas à prouver que kt est fini.

Est ce que 1) est un raisonnement bon?
Si je veux procéder par le raisonnement 2), comment prouver que kt est fini?

Merci beaucoup pour votre aide.

Ysech