Probabilité et analyse combinatoire

[MathieuP]

Bonjour,

Je bute sur le problème suivant : S'il y a 20 gens dans une pièce, quelle est la probabilité que 4 mois de l'année contiennent exactement 3 anniversaires (3 anniversaires pour chaque mois) et que 4 autres mois contiennent 2 anniversaires ? Naturellement, on suppose que chaque mois de l'année a autant de chance de contenir un anniversaire qu'un autre, ce qui n'est pas nécessairement le cas en réalité.

Voici les informations dont je dispose actuellement :

- Le dénominateur de la probabilité, où le nombre de cas dans l'espace échantillonal, est de 12^20
- La réponse est de 1.0604 x 10 ^ -3.

Je ne parviens pas à trouver le numérateur correctement. L'approche que j'utilisais va comme suit : Il s'agit de choisir 4 mois parmi les 12, et 4 parmi les 8 restants [12! / (4!*4!)] , puis de partitionner les 20 personnes en 4 trios et 4 duos [20! / (2!^4 * 3!^4)]. En multipliant ces deux éléments ensemble et en divisant par 12 ^ 20, j'obtiens 0.02545, ce qui n'est clairement pas la probabilité recherchée. En multipliant par (4!)^2, j'obtiens 14.65, une réponse complètement illogique. La logique derrière ce calcul était qu'une fois les 4 trios et duos sélectionnés, on pouvait les assigner aux mois qui leurs sont dédiés de 4! et 4! façons différentes, respectivement.

Bref, où se trouve l'erreur ? :id:

Merci !

Mathieu

P-S : Au début, j'avais mal compris la question, et je calculais la probabilité que 2 anniversaires se trouvent parmi 4 mois, 3 anniversaires parmi 4 autres et 15 parmi les 4 restants. Je ne dispose pas de la solution pour ce problème, mais supposons qu'il s'agissait de la bonne interprétation du problème, à quelle réponse arriveriez-vous ? C'est beaucoup moins important que la résolution du vrai problème, mais ça m'intrigue quand même, alors pour ceux que ça intéresse ... :zen:

[COTLOD]

Bonjour,
au moment où tu dis :

En multipliant ces deux éléments ensemble

cela signifie que tu dénombre un ensemble de couples. Ici les couples ont pour première composante un partage des 12 mois, et pour deuxième composante un partage des 20 personnes.
Par exemple, un partage des 12 mois pourrait être et un partage des 20 personnes pourrait être .
Si tu trouve un cardinal trop grand cela signifie qu'il y a trop de couples, c'est à dire qu'on peut trouver deux couples qui représente la même situations.
Par exemple, le partage des 20 personnes associé au même partage des 12 mois que précédemment traduit la même situation.

[COTLOD]

A mon tour de demander où est l'erreur.
Je procède autrement : l'ensemble de toutes les possibilités (l'univers) est un ensemble de combinaisons avec répétition, à chaque mois j'associe le nombre compris entre 0 et 20 de personnes nées ce mois là, la somme totale doit être égale à 20. Il y en a .
Pour le nombre de cas favorables j'associe à chaque mois un nombre 0 ; 2 ou 3 tel qu'on les trouve associés chacun exactement 4 fois. Cela revient à dénombrer les partages des 12 mois en 3 parties de cardinal 4, cela donne .
La probabilité que je trouve est environ
Merci d'avance pour toute aide.

[MathieuP]

J'ai trouvé !

12 mois en 3 parties de cardinal 4, cela donne .

C'est la clé. La façon que j'employais pour partitionner les gens était correcte. Mon erreur consistait à dire qu'il y avait [12! / (4!*4!)] façon de partitionner les mois alors qu'il fallait diviser une autre fois par 4! (très facile en développant 12 nCr 8 * 8 nCr 4 * 4 nCr 4 sur papier et en réduisant les termes semblables). En multipliant [20! / (2!^4 * 3!^4)] par [12! / (4!*4!*4!)], on obtient le bon nombre de cas favorables, ainsi que la bonne probabilité, soit 1.0604 * 10 ^ -3.

Merci pour la réponse rapide !

[COTLOD]

J'ai trouvé mon erreure, je ne tiens compte que du nombre de personnes pour chaque mois alors qu'il faudrait distinguer lesquelles. Et ce que je croyait être une erreur n'en est donc pas une.