Proba conditionnelle dans un exo sur Binomiale

[Seby]

j'ai un problème pour l'exo suivant,
je sèche à la question 2

Dans la production d'un poulailler, sur l’ensemble des œufs pondus, certains sont susceptibles d’être fêlés.
On suppose que la proportion d’œufs fêlés est de 5%. En février, on a prélevé au hasard 40 œufs dans la production de ce mois, soit X la variable aléatoire qui à tout échantillon de 40 œufs dans cette production de février fait correspondre le nombre d’œufs fêlés dans l’échantillon.
1) Quelle la loi de probabilité de X ?
Comme la taille de la population est inconnue, je propose une approximation d'une Hypergéométrique par une binomiale : X suit BIN (40; 0.05)

2) On a observé qu’au moins un des 40 œufs était fêlé, quelle est alors la probabilité qu’il y en ait exactement un 2ème ?
c'est sur le raisonnement pour répondre à cette question que je sèche, j'ai envie d'écrire, comme les événements sont indépendants

P_{X\geq 1}{(X=2)}=\frac{P(X\geq 1\bigcap{X=2)}}{P(X\geq 1)}=\frac{P(X=2)}{P(X\geq 1)}

ai-je tort ?
ceux ne sont pas les calculs qui me posent problème mais le raisonnement

[LB2]

1) Très bien
2) Les événements (X>=1) et (X=2) ne sont pas supposés indépendants.
Il faut donc calculer, par définition de la probabilité conditionnelle, et sous l'hypothèse que X suit la loi binomiale indiquée dans 1) ,
p(X>=1) = ...
p(X>=1 ET X=2) = ... (l'évènement se simplifie)

donc P(X=2 sachant X >= 1) = ... (ta formule est d'ailleurs correcte)

[beagle]

c'est perturbant ce truc,
si il ya 5 œufs félés on a plus de chance d'avoir vu rapidos un oeuf félé que si il y en a 1 seul de félé

[LB2]

attention beagle on ne demande pas p(œuf observé est fêlé sachant X >= 5) mais bien p(X=2 sachant X >=1).

Pour calculer la probabilité que tu évoques il faudrait utiliser une formule de Bayes pour "renverser" le sens du temps.

[beagle]

Bonjour LB2,
en fait hier soir j'ai un peu déliré sur le thème de savoir si la prise d'information pouvait jouer sur les probas,
un peu comme dans le paradoxe des deux enfants,
la mère poule a un enfant félé,
proba que son deuxième enfant soit félé.

Donc je j'avias pas trop analysé ce que j'ai mis en ligne.Juste évoqué un trouble possible.

Ce matin, et ce n'est pas encore ma version officielle, j'ai pas le temps de réfléchir donc je communique trop vite.
Mais si on suppose que l'information est totale:
tous les œufs ont été examinés, et je déclare il ya au moins un oeuf félé la-dedans.
Alors qs ton calcul.

Quid d'une information partielle, ne portant pas sur tous les œufs?

Premier cas, j'examine les œufs jusqu'à trouver un premier oeuf félé, j'arrète l'examen des autres œufs.
Il me semble que l'on n' a rien changé.On continue à travailler dans l'ensemble total des au moins un oeuf est félé.

Mais deuxième cas d'information partielle. j'examine juste 5 ou 10 œufs, ou j'examine 1oeuf sur 3,
ou alors l'examen des œufs se fait par exemple en 4 faces , et j'ai le résultat d'une face.
Alors dans l'ensemble des séries il ya au moins un oeuf félé, on sur-représente comme dit hier soir les cas à plusieurs œufs félés, au détriment des séries à peu d'œufs félés.
Tout se passe come si on mettait des séries avec un oeuf cassé dans l'ensemble des séries œufs non cassés.

PS: bon le but n'est pas d'embrouiller Seby.
Mais c'est intéressant de voir dans les probas conditionnelles dans quel ensemble on travaille.