Proba conditionnelle Loi de Poisson de paramètre une loi exponentielle

[Cyg]

Bonjour,

J'ai peut être trouvé la réponse à un problème de loi conditionnelle dépendant d'une autre loi mais il y a un ou 2 passages sur lesquels je doute aussi j'aurais aimé avoir vos lumières...

L’énoncé :
On considère deux variables aléatoires Y et X>=0. On suppose que, sachant X = x la loi conditionnelle de Y est une loi de Poisson de paramètre x. On suppose que X suit une loi exponentielle de paramètre L(amba) > 0, où on rappelle que L désigne l'inverse de l'espérance de X. L'espérance de Y vaut ?
Propositions (QCM) : L², L, 1/L², 1/L, L+L²

Voici comment j'ai procédé:
E(Y)=E(E(Y|X))
E(Y|X) = Somme sur k de k.P(Y=k|X=x) = Somme sur k de k.x^k/k!.exp(-x) (poisson de param x)

Jusque là ça doit aller, je ne suis pas certain de l'étape suivante où j'introduis la loi exponentielle par son intégrale :

E(Y)=Intégrale sur x de L.exp(-Lx).E(Y|X) dx

Et ensuite je déroule :
E(Y)=Intégrale sur x de L.exp(-Lx).(Somme sur k de k.x^k/k!.exp(-x)) dx
E(Y)=Intégrale sur x de L.exp(-Lx).(Somme sur k de x^(k-1)/(k-1)!.x.exp(-x)) dx
Hors Somme sur k de x^(k-1)/(k-1)! = exp(x)
E(Y)=Intégrale sur x de L.exp(-Lx).exp(x).x.exp(-x) dx
E(Y)=Intégrale sur x de L.exp(-Lx).x dx

hors Intégrale sur x de x.exp(-Lx) = 1/L² (par partie)

D'où E(Y) = L/L² = 1/L

Le résultat me parait logique, c'est l'espérance de la loi exponentielle, qui étant le paramètre de la loi de Poisson est son espérance aussi.
Mais du coup il y a peut être une démonstration plus directe que de tout calculer...

Merci pour vos conseils !
Cyg

[mr_pyer]

Tu ne te sers pas de la formule que tu redémontres. Idem avec où suit une loi de Poisson de paramètre .
Si tu admets ça tu fais ton exo en 2 lignes :zen:

[Cyg]

c'est vrai que j'ai finalement calculé que E(Y|X) = x , pas révolutionnaire pour une Poisson de param x...

Comme E(Y) = E(E(Y|X)) et E(Y|X) = x alors E(Y) = E(x) = 1/L(ambda) ... c'est bien ce que je pressentais, y'avait plus simple...

Merci,
Cyg