Preuve concavité

[plikskin]

Bonjour,

En partant de la définition de la concavité : a*f(x1) + (1-a)f(x2) <= f(a*x1 + (1-a)*x2) avec a>=0 je dois prouver que l'expression suivante est vérifiée : a*f(x1) + b*f(x2) + c*f(x3) <= f(a*x1 + b*x2 + c*x3) avec a+b+c=1 pour tout a,b,c>=0.

J'ai bidouillé ça dans tous les sens mais je n'y arrive pas. Pourriez-vous m'aider ?

[DamX]

Bonjour,

En partant de la définition de la concavité : a*f(x1) + (1-a)f(x2) =0 je dois prouver que l'expression suivante est vérifiée : a*f(x1) + b*f(x2) + c*f(x3) =0.

J'ai bidouillé ça dans tous les sens mais je n'y arrive pas. Pourriez-vous m'aider ?

Bonjour,

Et si je t'écris a*f(x1) + b*f(x2) + c*f(x3) = (a+b) * [a/(a+b)*f(x1) + b/(a+b)*f(x2)] + c*f(x3), tu y vois mieux ?

Damien

[plikskin]

Merci beaucoup Damien ! :)

[plikskin]

En fait j'ai encore un doute. ^^ J'ai renommé [a/(a+b)*f(x1) + b/(a+b)*f(x2)] = f(x4) et a/(a+b)*x1 + b/(a+b)*x2 = x4 mais ça m'a l'air faux. Quelle propriété permettrait de le faire ?

[DamX]

En fait j'ai encore un doute. ^^ J'ai renommé [a/(a+b)*f(x1) + b/(a+b)*f(x2)] = f(x4) et a/(a+b)*x1 + b/(a+b)*x2 = x4 mais ça m'a l'air faux. Quelle propriété permettrait de le faire ?

Pourquoi ça t'a l'air faux ?
Note L = a/(a+b). Tu as 1-L = b/(a+b)
Donc par concavité Lf(x1)+(1-L)f(x2)<=f(Lx1+(1-L)x2) et tu poses x4 = Lx1+(1-L)x pour la suite.

a+b+c=1 donc 1-(a+b)=c

Donc tu as (a+b)f(x4)+cf(x3)<=f((a+b)x4+cx3) par concavité encore.

Or en redépliant, tu as bien (a+b)x4 +cx3 = ax1+bx2+cx3

[plikskin]

Ce qui me dérange c'est qu'il y a encore le x3 du début dans la fonction à droite de l'inéquation donc donc je ne comprends pas comment on peut comparer (a+b)f(x4) à f((a+b)x4 + cx3). Mais je pense qu'il faut que j'y réfléchisse encore... :) Merci en tout cas.

[DamX]

Ce qui me dérange c'est qu'il y a encore le x3 du début dans la fonction à droite de l'inéquation donc donc je ne comprends pas comment on peut comparer (a+b)f(x4) à f((a+b)x4 + cx3). Mais je pense qu'il faut que j'y réfléchisse encore... Merci en tout cas.

C'est normal qu'il y soit, on applique deux fois consécutivement la concavité. Proprement Ecrit Ca donne :

[plikskin]

Ah c'est plus clair !!! Merci beaucoup !!! :)

[DamX]

Ah c'est plus clair !!! Merci beaucoup !!!

Et juste pour information, si ça t'intéresse, ça marche Encore avec n points x1,...,xn et n poids a1,...,an tq que a1+...+an=1 :

et ça marche meme en version continue : si f est concave sur [x1,x2] et g une fonction positive telle que , alors :


D'ailleurs tu peux essayer de les démontrer si t'es motivé