Concavité/convexité d'une fonction

[lakchamie]

Bonjour, on me demande d'étudier la nature de la fonction suivante : (3x-y)²
mon premier problème est que je ne trouve pas une matrice hessienne symétrique (d'après mon cours c'est toujours le cas), et le deuxième qui suit est que mon déterminant est négatif. Or mon cours m'indique seulement 4 solutions :
hessien :
-défini positif (dét.>0) et a >0
-défini négatif (dét >0) et a<0
-semi défini positif (dét> ou = à 0) et a > ou= à 0
-semi défini négatif pour l'inverse.

Et quand il est négatif, je fais quoi ??
Merci de m'aider ! :cry:

[Ben314]

Salut,
Tu t'est effectivement forcément gourré dans tes dérivées secondes. Qu'as tu trouvé ? en faisant quoi comme calculs ?

Ensuite, si en un point critique le déterminant est négatif, ben c'est simple, c'est ni un minimum, ni un maximum.
Ca s'appelle un point "col" (de montagne) ou un point "selle" (de cheval) pour visualiser la tête qu'a la fonction à cet endroit :
Pour l'alpiniste qui va de sommet en sommet, le col de la montagne, c'est son point le plus bas.
Pour le glandu qui va de vallée à vallée, le col c'est le point le plus haut.

[lakchamie]

Ma hessienne : (6 -6 ; -6 2) carrée de dimension 2
le determinant global est négatif pour moi (-24) mais en un point critique, il faut que j'en détermine un ??

[Ben314]

Ma hessienne : (6 -6 ; -6 2) carrée de dimension 2
le determinant global est négatif pour moi (-24) mais en un point critique, il faut que j'en détermine un ??

Bon, déjà, bien que symétrique, ta Hessienne est fausse.
Par exemple, f=(3x-y)² => df/dx=3(3x-y) => d²f/dx²=9

Ensuite, calculer le déterminant de la hessienne en un point qui n'est pas un point critique, tu peut m'expliquer à quoi ça te servirait ? (parce que perso, je vois pas...)

Bon, remarque que, ici, vu que dans la Hessienne y'a plus de x ni de y, on peut bien faire le calcul n'importe où, ça change rien, mais faut bien comprendre que c'est exeptionnel !

P.S. Autre remarque : il me semple que, rien qu'en la regardant dans le blanc des yeux, la fonction f=(3x-y)² te dit qu'elle admet un minimum...

[lakchamie]

9 ???? Moi j'avais simplement développé avec une identité remarquable, mais là, même pour la dérivée partielle première j'avoue que je vois pas trop le cheminement ... Pour le reste merci beaucoup en tout cas!

[Ben314]

Pour les dérivées partielles, tu peut évidement déveloper, mais (à part pour perdre du temps), ç'est pas utile.
f=(3x-y)² est de la forme u² donc sa dérivée (en n'importe quoi) est 2u'u
si on dérive en x alors u=3x-y a pour dérivée u'=3 (en y on aurait u'=-1)
donc df/dx=6(3x-y) [et je m'est gourré dans le premier post...]