Prébase et tribu borélienne

[chombier]

Bonjour,

Je suis dans les tribus et j'ai quelques questions dont je ne trouve pas véritablement les réponses.

Je considère un ensemble X.

Voici mes questions :

1) Si B est une base de T, est-ce que la tribu engendrée par B est la tribu borélienne engendrée par T ?

Si A est une prébase de T (i.e. T est la topologie engendrée par A), est-ce que la tribu engendrée par A est la même que la tribu borélienne engendrée par T ?

Je pensais que oui mais quelque chose me titille : dans une topologie, on a le droit de faire des unions quelconques. Dans une tribu, on n'a le droit qu'aux unions dénombrables. Donc ça devrait coincer quelque part.

Je vais finir sur un exemple : la topologie usuelle de R
L'ensemble engendre la tribu borélienne.

Pourtant ce n'est pas une base de R, et encore moins une prébase... Ils n'engendrent pas la topologie usuelle.

Je me trompe dans ce que je dis, ou c'est exact mais je ne comprends pas comment c'est possible ?

Une dernière question : est-ce que la tribu des boréliens est stable par union quelconque, ou est-ce qu'on perds cette propriété quand on passe de la topo à la tribu ?

[Ben314]

Salut,
Dés la première question, je comprend que dalle...
- C'est quoi T ?
- C'est quoi que tu appelle la "tribu borélienne engendré par T" ? (pour moi, pour parler de "tribu borélienne", déjà il faut pas être sur un ensemble quelconque X, mais sur un espace topologique, et en plus, je comprend pas ce que vient faire le "engendré par" vu que par définition, la "tribu borélienne", c'est celle engendré par les ouverts de l'espace topologique X)

EDIT : En lisant la suite, je pense que je comprend : ce que tu te donne au départ, visiblement, c'est pas "un ensemble X", mais un espace topologique (X,T) (donc T c'est l'ensemble des ouverts de X).

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Salut,
Dés la première question, je comprend que dalle...
- C'est quoi T ?
- C'est quoi que tu appelle la "tribu borélienne engendré par T" ? (pour moi, pour parler de "tribu borélienne", déjà il faut pas être sur un ensemble quelconque X, mais sur un espace topologique, et en plus, je comprend pas ce que vient faire le "engendré par" vu que par définition, la "tribu borélienne", c'est celle engendré par les ouverts de l'espace topologique X)

EDIT : En lisant la suite, je pense que je comprend : ce que tu te donne au départ, visiblement, c'est pas "un ensemble X", mais un espace topologique (X,T) (donc T c'est l'ensemble des ouverts de X).

Oui, X est un ensemble et T une topologie sur X

Si B est une base de T, je me demande dans quelle mesure la tribu engendrée par B est la même que la tribu engendrée par T.

Plus fort, Si A est une prébase de T, je me demande dans quelle mesure la tribu engendrée par A est la même que la tribu engendrée par T.

On a, bien sur, donc  mais les inclusions dans l'autre sens n'ont rien d'évident.

[Ben314]

à priori, la réponse à la question 1°, en général ça doit être non vu qu'effectivement, les ouverts de T sont réunion quelconques d'éléments de B alors que pour la tribu engendré, tu n'as le droit qu'au réunion dénombrables.
MAIS, si ton espace topologique est séparable (c'est à dire contient un sous ensemble dense au plus dénombrable) alors, sauf erreur, tout ouvert de T va être réunion au plus dénombrable d'éléments de B donc ça va marcher. Et comme les espaces topologiques "simples" (par exemple les R^n) sont séparables, si tu cherche un contre exemple, il faudra prendre un "gros" espace topologique, du style de l'ensemble des foncions de R->R muni de la topo de la C.V. simple.

[Ben314]

Je vais finir sur un exemple : la topologie usuelle de R
L'ensemble engendre la tribu borélienne.
Pourtant ce n'est pas une base de R, et encore moins une prébase... Ils n'engendrent pas la topologie usuelle.

Là, je vois pas bien le rapport avec ce dont tu parle avant.
Au début, tu te pose la question de savoir si, lorsque B est une base d'ouverts, est-ce que la tribu engendré par B est la même que celle engendré par l'ensemble des ouverts. Alors que là, ça donne l'impression que tu te pose la question "dans l'autre sens" : est-ce que, si B engendre (au sens des tribu) les boréliens, est-ce que B engendre (au sens de la topo) les ouverts.
La question est évidement sans trop de sens vu que les boréliens ne sont pas tous des ouverts (alors que tout les ouverts sont des boréliens) et même si tu ne prend que des ouverts dans ta base des boréliens, ça va clairement coincer vu que les tribus sont stables par passage au complémentaire alors que les ensembles d'ouverts ne le sont pas du tout (et c'est bien ce que montre ton exemple)

Une dernière question : est-ce que la tribu des boréliens est stable par union quelconque, ou est-ce qu'on perds cette propriété quand on passe de la topo à la tribu ?

Surement absolument pas du tout !!!!!!
Pour quasiment toutes les mesures (et donc tribu) sur les ensembles infinis, les singletons sont mesurables (et de mesure nulle) donc dans la tribu. Donc si la tribu était stable par réunion quelconque, vu que toute partie est une réunion de singletons, toute partie serait mesurable alors que ce n'est quasiment jamais le cas (en tout cas si on accepte l'axiome du choix)

[chombier]

Merci Ben
J'étais surpris qu'un sous ensemble de P(X) soit assez grand pour engendrer la tribu borélienne mais pas assez pour engendrer la topologie, qui est pourtant incluse dans la tribu borélienne.

C'est sur que si on n'a pas besoin d'unions quelconques, il est inutile de passer par la topologie engendrée pour trouver la tribu borélienne, la tribu engendrée contiens systématiquement la topologie engendrée.

(Pour la dernière question, j'ai bien compris que si une tribu est une topo, et si les singletons en font partie, cette tribu c'est P(X))

[Ben314]

Sinon, un exemple concon où ça engendre pas du tout la même chose :
Tu prend X=R et B l'ensemble des singletons {x} avec x dans R.
La topologie engendré par B, c'est la topo discrète : toute partie de R est ouverte (et fermée).
La tribu engendré par B, c'est les parties de R qui sont ou bien dénombrable, ou bien de complémentaire dénombrable.

(à noter que, bien évidement, R muni de la topologie discrète n'est pas séparable !!!)

[chombier]

C'est très clair, merci

Par contre j'ai l'impression que quand tu dis "séparable" tu entends "admet une base dénombrable d'ouverts" (BDO)
Dans un espace métrique, ces deux notions sont confondues
En général, on n'a que l'implication BDO => séparable

[Ben314]

Ce que j'entends par séparable, ben... c'est la définition... à savoir "admet une partie dense dénombrable".

Il me semble que ce dont tu as besoin pour qu'il y ait une certaine correspondance entre la tribu engendré par B et la topologie engendré par B, c'est que tout ouvert soit réunion dénombrable d'éléments de B.
Certes, si B est dénombrable, ça va évidement marcher, mais je ne pense pas que ce soit une équivalence : il me semble possible que B soit non dénombrable et que pourtant tout ouvert soit réunion dénombrable d'éléments de B et j'avais l'impression (peut-être à tort, j'ai pas franchement réfléchi à la question) qu'un truc suffisant pour que ça marche (i.e. que tout ouvert soit réunion dénombrable d'éléments de B) c'était la séparabilité et pas plus.