Polynômes formels

[Cryptocatron-11]

Bonjour,
J'aurai DEUX questions concernant l'ensemble des polynômes formels


Première question
Soit un polynôme

J'ai lu qu'on pouvait écrire ce polynôme comme

Mais aussi est il juste d'écrire ?

Deuxième question
Dans les ensembles de polynomes, j'ai cherché à savoir d'ou provient la lettre placé devant le [X] comme par exemple Z[X] Q[X] R[X] ou C[X] ...

Voilà ce que j'ai compris :
Intuitivement, une manière simple de concevoir un polynôme formel est d'ajouter une lettre X (l'indéterminée), à un ensemble de nombres comme Z, ou R.
Et suivant l'ensemble de nombre qui peut être Z,Q,R ou C auquel on ajoute ce X , on notera respectivement Z[X] Q[X] R[X] ou C[X]
Cette lettre désigne l'ensemble de nombre auquel on a ajouté la lettre X . Est ce bien ça ?

Merci

[Skullkid]

Salut, formellement, un polynôme est une suite nulle à partir d'un certain rang donc oui il est correct de l'écrire sous la forme , en tant que raccourci de . Dans la pratique, cette écriture est assez peu utilisée puisqu'elle se prête assez mal aux calculs.

Pour la deuxième question, c'est presque correct, cependant A[X] n'est pas simplement A auquel on ajoute X (sinon ce serait A U {X}), c'est A auquel on ajoute... tous les polynômes en X. Vu autrement c'est le plus petit anneau qui contient A et X.

[Cryptocatron-11]

Pour reprendre les mêmes notations , dans le cas ou on a A[X], alors ?

c'est A auquel on ajoute... tous les polynômes en X.

Ces polynômes en X que tu cites, désignent quel ensemble ?

[Skullkid]

Comme je t'ai dit, formellement, A[X] c'est un sous-ensemble de . Donc si tu veux être parfaitement rigoureux, un polynôme n'est pas un n-uplet mais une suite à support fini. X est un polynôme particulier, à savoir la suite (0,1,0,0,0,...), on définit ensuite une addition et une multiplication qui vont bien, et ça fait un anneau dans lequel A s'injecte naturellement en identifiant le "nombre" a au polynôme (a,0,0,0,...).

Maintenant, comme souvent en algèbre, ce qui compte c'est pas tant la nature des objets que leurs propriétés. La façon dont tu construis A[X] n'est pas importante, ce qui est important c'est de savoir qu'un polynôme en X c'est ce qui te vient intuitivement à l'esprit : un truc formé en additionnant des machins de la forme avec a un élément de A et k un entier naturel.

[Cryptocatron-11]

X est un polynôme particulier, à savoir la suite (0,1,0,0,0,...), on définit ensuite une addition et une multiplication qui vont bien, et ça fait un anneau dans lequel A s'injecte naturellement en identifiant le "nombre" a au polynôme (a,0,0,0,...).

OK je vois car X on peut l'écrire et a peut s'écrire

Comme je t'ai dit, formellement, A[X] c'est un sous-ensemble de . Donc si tu veux être parfaitement rigoureux, un polynôme n'est pas un n-uplet mais une suite à support fini.

Un dernière chose, ça veut dire quoi support fini ?

[Skullkid]

"Suite à support fini" ça veut dire "suite nulle à partir d'un certain rang". Le support d'une suite (a_n) c'est l'ensemble des entiers n tels que a_n est non nul.

[Cryptocatron-11]

OK merci bien