Polynome de Taylor - estimation de l'erreur

[Dylaa2n]

Bonjour,

Tout d'abord,

on me demande d'approximer la valeur de à l'aide des polynomes de Taylor et d'estimer l'erreur en donnant le plus petit intervalle contenant la valeur. Le polynome doit être du second degré et l'approximation autour du point x=1.

Je n'ai aucun problème pour trouver le polynome de Taylor mais par contre je n'arrive pas à trouver l'erreur et l'intervalle dans lequel la réponse se trouve donc...



Quand je calcule , j'obtiens un polynome de la forme mais pour pouvoir majorer cette expression de la manière la plus efficace, comment dois-je faire? Dois-je étudier ce polynome pour voir en quelles valeurs il est négatif, positif, maximal?

Ensuite,

J'ai également une autre question sur un exercice où l'on me demande d'utiliser la formule de Taylor pour démontrer que:

avec

En utilisant la formule de Taylor avec un polynome de degré 1, j'obtiens :

mais comment faire le lien entre les deux inéquations étant donné que je ne connais pas la valeur de c (à part que c est situé entre 0 et x...) donc je ne connais pas le signe de et je ne vois pas comment terminer ce problème.

Merci beaucoup pour l'aide! :lol3:

[BiancoAngelo]

Bonjour,

Tout d'abord,

on me demande d'approximer la valeur de à l'aide des polynomes de Taylor et d'estimer l'erreur en donnant le plus petit intervalle contenant la valeur. Le polynome doit être du second degré et l'approximation autour du point x=1.

Je n'ai aucun problème pour trouver le polynome de Taylor mais par contre je n'arrive pas à trouver l'erreur et l'intervalle dans lequel la réponse se trouve donc...



Quand je calcule , j'obtiens un polynome de la forme mais pour pouvoir majorer cette expression de la manière la plus efficace, comment dois-je faire? Dois-je étudier ce polynome pour voir en quelles valeurs il est négatif, positif, maximal?

Ensuite,

J'ai également une autre question sur un exercice où l'on me demande d'utiliser la formule de Taylor pour démontrer que:

avec

En utilisant la formule de Taylor avec un polynome de degré 1, j'obtiens :

mais comment faire le lien entre les deux inéquations étant donné que je ne connais pas la valeur de c (à part que c est situé entre 0 et x...) donc je ne connais pas le signe de et je ne vois pas comment terminer ce problème.

Merci beaucoup pour l'aide! :lol3:

Bonsoir !

Pour la deuxième partie, je te réponds d'emblée... :



Or, donc... ? :zen:

[Dylaa2n]

Bonsoir !

Pour la deuxième partie, je te réponds d'emblée... :



Or, donc... ? :zen:

Je vois bien où tu veux en venir mais je ne comprends pas comment on peut conclure cela..car pour moi le c est compris entre 0 et x mais nous ne connaissons pas la valeur du x, donc cos(c) pourrait très bien être négatif non?? :hein:

EDIT : je retire ce que j'ai dit, si cos(c) est négatif il est toujours plus petit que 1 et ca ne pose pas de problème.. merci merci :ptdr:

[fatal_error]

hello

si ta ta quantité est négative elle est de fait inférieure à 1...

[Dylaa2n]

hello

si ta ta quantité est négative elle est de fait inférieure à 1...

Oui effectivement.. merci :zen:

[BiancoAngelo]

Tu disais aussi que :

Quand je calcule , j'obtiens un polynome de la forme mais pour pouvoir majorer cette expression de la manière la plus efficace, comment dois-je faire? Dois-je étudier ce polynome pour voir en quelles valeurs il est négatif, positif, maximal?

On est au voisinage de 1, donc on peut utiliser un encadrement de x pour majorer.

Rien qu'en prenant , on a :



Si, , alors :

.

Ce sont des approximations, mais en prenant dès le départ l'encadrement que tu souhaites, tu l'auras précisément.

[Dylaa2n]

Tu disais aussi que :


On est au voisinage de 1, donc on peut utiliser un encadrement de x pour majorer.

Rien qu'en prenant , on a :



Si, , alors :

.

Ce sont des approximations, mais en prenant dès le départ l'encadrement que tu souhaites, tu l'auras précisément.

Merci beaucoup pour ton aide! J'ai refait l'exercice en suivant tes conseils et comme c se situe entre 0.97 et 1, je l'ai majoré par la valeur 1.

Du coup, quand j'ai mon reste qui valait :

et donc

et donc en majorant c par 1 : et donc

Cela me semble cohérent maintenant. Puis-je cependant bien travailler à la dernière ligne avec une valeur absolue?? Sinon j'arrivais à un reste plus petit qu'un négatif, ce qui m’embêtait légèrement... :zen:

[BiancoAngelo]

Merci beaucoup pour ton aide! J'ai refait l'exercice en suivant tes conseils et comme c se situe entre 0.97 et 1, je l'ai majoré par la valeur 1.

Du coup, quand j'ai mon reste qui valait :

et donc

et donc en majorant c par 1 : et donc

Cela me semble cohérent maintenant. Puis-je cependant bien travailler à la dernière ligne avec une valeur absolue?? Sinon j'arrivais à un reste plus petit qu'un négatif, ce qui m’embêtait légèrement... :zen:

Hum, en fait, il faut prendre le dénominateur le plus petit pour avoir une majoration (vu qu'on fait l'inverse).

Donc prendre c = 1 pour le numérateur et c = 0.97 pour le dénominateur.

Evidemment on prend la valeur absolue pour majorer en un coup. Et en prenant x = 0,97, on a alors :



EDIT : C'est et pas , tu as fait jusqu'au polynôme de degré 2, n'est-ce pas ?

[Dylaa2n]

Hum, en fait, il faut prendre le dénominateur le plus petit pour avoir une majoration (vu qu'on fait l'inverse).

Donc prendre c = 1 pour le numérateur et c = 0.97 pour le dénominateur.

Evidemment on prend la valeur absolue pour majorer en un coup. Et en prenant x = 0,97, on a alors :



EDIT : C'est et pas , tu as fait jusqu'au polynôme de degré 2, n'est-ce pas ?

Ah oui d'accord j'ai compris... :happy2:
Et oui tu as raison, je vais corriger ca merci!