Polynôme de Lagrange

[Marguerite2521]

Bonsoir,

voici l'énoncé:

Soit Rn[X] l'ensemble des polynômes de degré au plus n à coefficients réels. Soient x0, ..., xn n+1 réels deux à deux distincts.
On pose pour tout entier k de {0,...,n}

Pk(X) = ;) (X-xi)/(xk - xi)

1. Montrer que les Pk appartiennent à Rn[X]. Déterminer Pk(xi) pour tout i et tout k de {0,...,n}

2. Soient y0,..., yn, n+1 réels. Montrer qu'il existe un unique polynôme P de Rn[X] tel que pour tout k de {0,...,n}, P(xk) = yk

3. Pour tout j de {0,...,n}, on définit Tj: Rn[X] ;) R
P ;) P(xj)
a) Montrer que Tj est une application linéaire
b) Calculer Tj (Pk) pour tout j et pour tout k de {0,...,n}
c) En déduire que les Tj sont libres puis que {T0, ..., Tn} forme une base de L(Rn[x], R)

4. soit T l'application qui a un polynôme P associe sa dérivée en x0
a) Montrer que T est une application linéaire
b) Calculer ses coefficients dans la base {T0, ..., Tn}


J'ai réussi les premières questions mais je bloque à la question 3.b).
Par définition, on a :
Tj(Pk) = Pk(xk) = ;) (xj-xi)/(xk - xi)
Donc
Pour tout entier k de {0,...,n} - {j}, on a Tj(Pk) = 0
Pour k = i on a Tj(Pk) =1

Ma réponse est-elle juste? Si oui, je ne comprends pas la différence entre la question 1 et 3b)

Merci de votre aide !

[MouLou]

Salut. Tj(Pk)=Pk(xj) tout simplement, comme le dit la définition!

[jlb]

Pas vraiment!! Tj associe à un polynôme P, le nombre P(xj) : tu remplaces x par le nombre xj

Donc si on te demande d'évaluer Tj(Pk), tu dois calculer Pk(xj)