Polynome de Lagrange

[marieet]

Bonjour j'ai un problème dans un de mes exercices et ce que vous pourriez m'aider ?

Soit Li (i variant de 0 à n) la famille des polynomes d'interpolation de Lagrange associés aux réels deux à deux distinct t0,....,tn
Calculer pour k appartenant {0,...,n+2} les sommes

somme pour i variant de 0 à n de (ti)^k * Li(0).


J'ai essayé pour des valeurs petites de i (0,1,2) mais je ne vois pas vraiment comment m'y prendre; je me retrouve avec des sommes de produit énorme je pense que ne dois pas avoir vu une simplification ou bien une somme téléscopique car mes calculs sont affreux. :mur:

Quelqu'un pourrait m'aider ??
Merci :we:

[mathelot]

bjr,

On construit les polynomes
tels que

et on exprime les monomes dans cette base.

[marieet]

Je ne vois toujours pas comment m'y prendre :triste:

[Maxmau]

Tout polynôme P de degré <= n s’écrit de façon unique :
P(X) = P(t0)L0(X) + P(t1)L1(X) + + P(tn)Ln(X)

Si P est de degré quelconque il s’écrit, en le divisant par
(X-t0)(X-t1)….(X-tn) :
P(X) = P(t0)L0(X) + P(t1)L1(X) + + P(tn)Ln(X) +
(X-t0)(X-t1)….(X-tn)Q(X)