Polynôme irréductible

[zork]

Bonjour,

je veux montrer que le polynôme P=X^4-6X²+4 est irréductible sur Q[X]. Je sais déjà que ces racines ne sont pas dans Q.

dans un autre exo j'avais le polynômes , on avait cherché ces racines dans C et dis que comme elle n'étaient pas dans Q[ ] le polynôme était irréductible sur Q[ ].

Pourquoi je ne peux pas faire la même chose pour P?


merci

[Monsieur23]

Aloha,

Dans ton deuxième cas, tu as un polynôme de degré 2, donc le seul moyen de le factoriser est de l'écrire comme produit de deux polynômes de degré 1… et donc de donner ses deux racines.

Dans ton premier cas, tu pourrais écrire ton polynôme comme produit de deux polynômes de degré 2, irréductibles sur Q[X].

[zork]

je peux aussi avoir du degré 1 et degré3?

[zork]

j'ai encore une question:
mon polynôme P, je peux toujours l'écrire sous forme de produit de degré 1 non?
sinon, comme factorisation possible je peux avoir:
degré2xdegré2 ou degré3xdegré1

ca me semble compliqué, mais je sais que les racines de P sont a,b,-a,-b et que ab=2 du coup je ne peux pas faire quelque chose avec cela?

[Monsieur23]

je peux aussi avoir du degré 1 et degré3?

Théoriquement oui, mais si tu factorises un polynôme de degré 1, ça veut dire que tu as une racine de ton polynôme dans Q, ce qui n'est pas le cas.

ca me semble compliqué, mais je sais que les racines de P sont a,b,-a,-b et que ab=2 du coup je ne peux pas faire quelque chose avec cela?

Tu peux factoriser ton polynôme (dans C) P = (X-a)(X+a)(X-b)(X+b).

Est-ce que tu peux rassembler les facteurs deux par deux pour faire deux polynômes de degré 2 (à coefficient dans Q) ?
(il te faudra sûrement connaitre a+b ou a-b)

[zork]

je rassemble (X-a)(X-b)=X²-(a+b)X+ab
a+b n'est pas dans Q et cela suffit à dire que c'est irréductible?