Pgcd

par **MacManus** » 22 Juin 2008, 15:31

Bjr !

Je cherche à calculer le PGCD des polynômes

et -

de R[X] . Je note A et B ces polynômes respectivement. Je peux dire que PGCD(A,B) = PGCD(B,R) (R étant un polynôme : le reste de la div.eucl. de A par B). Mais comment reconnaître le polynôme PGCD de A et B ensuite ? c'est bien le dernier reste non nul ?

merci d'avance!

par **leon1789** » 22 Juin 2008, 15:48

par divisions euclidiennes successives, on "remplace" un pgcd par un autre où les polynômes sont de degrés plus petits. Mais la suite des degrés ne peut pas diminuer indéfiniment (ils sont dans N) donc on arrive à un truc spécial au bout d'un certain temps...

Ce truc spécial, c'est que le reste de la division euclidienne "n'a pas de degré" : en clair, le reste est nul. Et à ce moment, on peut donner la réponse car pgcd(K, 0) = K

En résumé,

On dit que le pgcd est le dernier reste non nul dans la suite des divisions euclidiennes. (C'est l'algo d'Euclide ! :id: )

par **ThSQ** » 22 Juin 2008, 15:51

Enfin ici on peut sans aucune difficulté factoriser les deux polynômes en produit de d° <= 2.

par **MacManus** » 22 Juin 2008, 16:02

D'accord merci c'est pas compliqué mais j'avais un peu oublier ....

par **MacManus** » 22 Juin 2008, 16:16

Oui je suis d'accord avec toi ThSQ

-

dans R[X] et

dans R[X] également.

par **mathelot** » 22 Juin 2008, 16:26

par **MacManus** » 22 Juin 2008, 16:34

ah oui ce que tu donnes là mathelot est finalement la factorisation dans C[X]. d'accord ok! Mais si l'on fait ces deux factorisations pour A et B, on peut en déduire le pgcd de A et B, c'est à dire trouver un polynôme de de plus grand degré qui divise à la fois A et B. mais le fait de factoriser A dans C[X] et B dans R[X] ne "marche" pas.. si ?

il faut rester dans R[X] non ?

merci

par **MacManus** » 22 Juin 2008, 16:40

arff je suis allé un peu vite je crois, la décomposition de X^6-1 que tu donnes mathelot, est dans R[X].

Je trouve que PGCD(A,B) =

c'est correct ?
merci encore

par **leon1789** » 22 Juin 2008, 18:29

ThSQ a écrit:Enfin ici on peut sans aucune difficulté factoriser les deux polynômes en produit de d° <= 2.

Certes oui, mais l'algo d'Euclide est, ici, tout aussi efficace (si ce n'est davantage !) :

donc

Factoriser et l'algo d'Euclide, les deux sont rapides sur ton exemple... c'est de la chance car très souvent la factorisation est très compliquée (si ce n'est davantage ! :id: ).

MacManus a écrit:arff je suis allé un peu vite je crois, la décomposition de X^6-1 que tu donnes mathelot, est dans R[X].

Je trouve que PGCD(A,B) =
c'est correct ?
merci encore

oui, mais pourquoi ne pas écrire la forme factorisée si elle te vient comme ça avec méthode de factorisation ?

MacManus a écrit:il faut rester dans R[X] non ?

Personnellement, je suis resté dans Z[X] tout simplement !

par **MacManus** » 22 Juin 2008, 20:45

merci léon1789, donc sous forme factorisée j'obtiens :
pgcd(A,B) =

dans Z[X]

Pgcd

pgcd

Qui est en ligne