Eléments simplifiables pgcd

[Aragone]

Quelques soient a et b dans N (ensemble des entiers naturels), on note aTb = pgcd(a,b).

Soit le monoïde (N,T) d'élément neutre 0 (remarque : 0 est élément simplifiable). On cherche à savoir s'il existe des éléments simplifiables dans ce monoïde, c'est-à-dire des éléments a tels que quelques soient b et c dans N,

aTb = aTc => b=c

Je ne sais pas du tout comment m'y prendre. J'ai voulu raisonner par l'absurde en supposant l'existence d'un tel élément non nul.

aTb = aTc => b=c

On remarque que si l'on prend b = a² et c = a, on impose a = 1. Mais je ne vois pas en quoi cela peut m'aider. En effet, j'obtiens cette condition indépendamment du fait que T est la loi du pgcd. Si je suis par exemple dans le monoïde (Z,+), je peux également obtenir ce résultat. Or tous les éléments de ce monoïde sont simplifiables. J'en déduis, et je ne sais pas trop où cloche le raisonnement, que ce n'est pas parce qu'on a cette condition que a vaut forcément uniquement 1 et rien d'autre.

Merci d'avance.
Aragone

[catamat]

Bonjour
Soit p1 et p2 deux nombres premiers ne figurant pas dans la decomposition en facteurs premiers de a.

Posons b=a*p1 et c=a*p2

aTb=a et aTc=a donc aTb=aTc mais b est différent de c, donc a n'est pas simplifiable.

[Aragone]

Bonjour,
Pourquoi est-on obligé de passer par les nombres premiers ?
Si on pose b = aq et c = aq' où q != q', cela ne suffit pas ?

[lyceen95]

Quand on parle PGCD , on parle décomposition en nombres premiers, et donc nombres premiers. C'est incontournable.

Là, tu fais un exercice difficile ( un exercice qui n'est pas de niveau collège ni lycée). Il faut connaître tout ce qu'un lycéen connaît sur les PGCD (plus plein d'autres choses) pour attaquer des exercices de ce niveau.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

"On remarque que si l'on prend b = a² et c = a, on impose a = 1. Mais je ne vois pas en quoi cela peut m'aider."
On t'a donné une indication et tu n'as pas su l'utiliser. Si est simplifiable, alors en particulier on doit avoir puisque . Donc ou . Est-ce que est simplifiable ? Que peux-tu en déduire sur les éléments simplifiables de ?
N.B. : aucun nombre premier n'est maltraité au cours de cette démonstration.

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