Démo Pgcd(a,c)=Pgcd(a,bc)

[NICO 97]

Bonjour,
Je souhaiterai démontrer que, si PGCD(a,b)=1
alors PGCD(a,c)=PPGCD(a,bc), pour tout c entier

Je souhaite montrer que aZ+cZ=aZ+bcZ

Comme bcZ est inclus dans bZ, aZ+bcZ est inclus dans aZ+cZ

de plus aZ+bZ=Z

Il me reste à montrer que aZ+cZ est inclus dans aZ+bcZ

J'aurais envie de dire que aZ+cZ est inclus dans aZ+bZ=Z, mais je n'arrive pas à conclure de cet façon. Peut-être auriez vous une idée?

Merci d'avance.

[COTLOD]

Bonsoir,
J'ai une idée que je n'ai pas vérifié jusqu'au bout :
PGCD(a,b)=1 donc d'après Bezout il existe u,v tels que au+bv=1
Un élément de aZ+cZ est de la forme ap+cq, on écrit :
[CENTER][/CENTER]

[NICO 97]

Bonsoir,
J'ai une idée que je n'ai pas vérifié jusqu'au bout :
PGCD(a,b)=1 donc d'après Bezout il existe u,v tels que au+bv=1
Un élément de aZ+cZ est de la forme ap+cq, on écrit :
[CENTER][/CENTER]

Merci, ça marche, bonne idée :id: