Exercices PGCD

par **zonflodul** » 02 Nov 2009, 17:53

Bonjour à tous, :happy2:

voila j'ai vraiment besoin de vous pour un exercice, voici l'enoncé:

n désigne un entirer naturel tel que n>2

a=2n+5 b=n+1

1)a. Calculer a-2b

b. En deduire que PGCD(a,b) est un diviseur de 3

2) Dans chaque cas déterminer les entiers n tels que:
a. PGCD(a,b)=3 b. PGCD(a,b)=1

j'ai trouver le 1)a sa donne 3 mais je vois pas le rapport avec la suite..

Merci d'avance a tous

par **Nightmare** » 02 Nov 2009, 17:55

Salut !

Tu as trouvé que a-2b était égal à 3 et on t'en demande d'en déduire que PGCD(a,b) est un diviseur de 3. Il suffirait donc de dire que PGCD(a,b) divise a-2b. Pourquoi est-ce vrai?

par **zonflodul** » 02 Nov 2009, 18:04

merci Nighmare, je bute vraiment sur se chapitre, peut-tu me donner plus d'explication stp.

par **dudumath** » 02 Nov 2009, 18:08

par **Jiss** » 02 Nov 2009, 18:17

Salut.

Dis nous sur quoi tu butes plus exactement pour qu'on puisse t'aider :happy2:

Sinon en fait c'est une propriété du cours il me semble que

avec

par **Jiss** » 02 Nov 2009, 18:17

Hum ok le temps que j'écrive ma réponse en LateX jme suis fais coiffer au poteau :p

par **zonflodul** » 02 Nov 2009, 18:25

Merci enormement pour vos réponse, mais comme j'ai dit plus haut, les PGCD j'ai vraiment du mal...

pour : b. En deduire que PGCD(a,b) est un diviseur de 3

malgrès vos propriété, je vois mal comment le déduire.

je vous remercie infiniment.

par **zonflodul** » 02 Nov 2009, 20:07

donc je devrais dire que le PGCD de (a,b) divise a et b donc il divise a-2b
Or a-2b=3 donc le PGCD de (a,b) divise 3
C'est ça???

par **dudumath** » 02 Nov 2009, 21:05

tout a fait, c'est une propriété essentielle qui est très utile pour résoudre des exos de bases sur les PGCD

par **zonflodul** » 02 Nov 2009, 23:56

merci
le problème c'est que je bloque pour la question 2
je sais que PGCD(a,b) est un diviseur de 3 donc il peut s'écrire 3*k ou 3*k+1 ou 3*k+2 c'est ça? non?

par **dudumath** » 03 Nov 2009, 13:27

zonflodul a écrit:je sais que PGCD(a,b) est un diviseur de 3 donc il peut s'écrire 3*k ou 3*k+1 ou 3*k+2 c'est ça? non?

Attention, un multiple de 3 s'écrit sous la forme 3k
(dire que a divise b signifie qu'il existe un entier k tel que b=ak)

Mais ici ce n'est pas important puisqu'on t'impose

a^b=3

tu sais que a^b | a donc que peux tu dire par rapport à n??

tu sais que a^b | b, ce qui te donne d'autres informations sur n.

par **zonflodul** » 03 Nov 2009, 15:22

c'est bien sa ?

par **zonflodul** » 04 Nov 2009, 13:12

svp je n'arrive pas à continuer vous pouvez m'expliquer

par **zonflodul** » 04 Nov 2009, 13:14

c'est koi ^ ??? quand tu dis a^b=3 ???

par **dudumath** » 04 Nov 2009, 13:56

pardon, tu ne connais pas cette notation:

a^b=PGCB(a,b) ( et a v b =PPCM(a,b) au passage)

Reprends tous les commentaires qui ont été dit dans ce message, ton exo est tout fait!

par **zonflodul** » 04 Nov 2009, 14:33

d'accord merci beaucoup
je vais essayé tu pourra me dire si j'ai juste stp

par **zonflodul** » 04 Nov 2009, 14:37

a=2n+5 et b=n+1

a^b=3

alors 3 divise a donc a=3k
de même 3 divise b donc b=3k'

mais comment continuer?

par **zonflodul** » 04 Nov 2009, 14:48

enfaite c'est :

a=3a' et b=3b' avec a' et b' premiers entre eux non?

donc on a PGCD(a,b)=3PGCD(a',b')
mais comment trouver a' et b' dans ce cas?

par **dudumath** » 04 Nov 2009, 15:06

le but de ton exo est de trouver n

tu as:
2n+5=3k
n+1=3k'

=>n=3(k-k')-4

et n est de la forme 3l-1

réciproquement, si n=3l-1, 2n+5=6l+3 qui est un multiple de 3
et n+1 est aussi un multiple de 3

fais pareil avec a^b=1

par **zonflodul** » 04 Nov 2009, 15:15

je suis d'accord avec toi mais comment déduis tu PGCD(a,b)=3 en fonction de n ???
tu a a=6l+3 qui est un multiple de 3 et n+1 l'est aussi
alors PGCD(6n+3,n+1)=3
c'est ça?

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