Pgcd

par **legeniedesalpages** » 28 Nov 2007, 20:19

Bonsoir, je n'arrive pas à résoudre cet exo:

Soient deux entiers naturels non nuls, et deux polynômes de . Montrer que le pgcd de et est , avec .

J'ai montré que

divise

et

.

Il me reste donc à montrer que si

divise

et

, alors

divise

.

Là je bloque, j'ai pensé trouver une identité de Bezout du type

, mais je n'arrive pas à trouver un tel couple

.

Merci pour vos indications.

par **SimonB** » 28 Nov 2007, 20:28

Il faut commencer par réduire ton polynôme

dans

...

par **ThSQ** » 28 Nov 2007, 20:55

Si m > n,

Donc si P divise

et

et divise

(

et

premiers entre eux) et

par récurrence (c'est algo d'Euclide en fait)

par **tize** » 28 Nov 2007, 20:58

Bonjour

ThSQ a écrit:Si m > n,

Tu es sur de ça ?

Une autre méthode que celle de SimonB consiste à écrire an-bn=d puis essayer de montrer que

par **ThSQ** » 28 Nov 2007, 21:11

tize a écrit:Bonjour
Tu es sur de ça ?

lol

non je corrige :ptdr:

par **legeniedesalpages** » 28 Nov 2007, 21:15

Bonsoir tout le monde,

ok je vais regarder ça, et oui j'ai oublié de préciser que

désigne un corps commutatif quelconque.

Je vais regarder ces méthodes, mais celle de SimonB ne marche que pour des sous-corps de

, non?

par **legeniedesalpages** » 28 Nov 2007, 21:52

Bon pour me lancer sur la méthode de SimonB,

je trouve

.

Mais je ne vois pas en quoi ça m'avance, je ne connais pas du tout cette méthode. :hein:

par **ThSQ** » 28 Nov 2007, 21:59

legeniedesalpages a écrit:Bon pour me lancer sur la méthode de SimonB

Comme tu veux mais avec ma méthode (corrigée ....) c'est direct (et elle marche dans n'importe quel corps)

par **legeniedesalpages** » 28 Nov 2007, 22:03

ah oui d'accord, j'avais pas vu que tu avais corrigé, juste une chose qui m'est pas clair, tu fais une récurrence sur quel entier?

par **SimonB** » 28 Nov 2007, 22:05

Effectivement, ma méthode ne marche pas dans le cas général. Désolé.

par **legeniedesalpages** » 28 Nov 2007, 22:06

ThSQ a écrit:Si m > n,
Donc si P divise et et divise ( et premiers entre eux) et par récurrence (c'est algo d'Euclide en fait)

EN fait tu dis que si P divise

et

alors il divise

?

par **legeniedesalpages** » 28 Nov 2007, 22:09

SimonB a écrit:Effectivement, ma méthode ne marche pas dans le cas général. Désolé.

ok mais je pense que je vais essayer de la retrouver pour les cas particuliers, parce que je ne suis pas encore à l'aise avec ces notions de décompositions.

par **legeniedesalpages** » 28 Nov 2007, 23:16

Thsq comment tu te sers de la division euclidienne?

Si je comprends bien on pars de :

,

ensuite il faut trouver Q et R tels que:

avec

par **yos** » 29 Nov 2007, 09:46

Bonjour.
m>n.

donc

et tu continues à descendre jusqu'à

par **legeniedesalpages** » 29 Nov 2007, 12:08

ok merci yos.

:)

par **ThSQ** » 29 Nov 2007, 18:30

legeniedesalpages a écrit:Thsq comment tu te sers de la division euclidienne?

Désolé "legeniedesalpages", heureusement que yos est toujours là quand il faut !

par **tize** » 29 Nov 2007, 19:07

Bien joué Yos,
pour revenir sur ce que j'ai dit, on pleut écrire

et

donc on a des polynômes

et

tels que:

Donc

Si donc un polynôme divise

et

il divise alors aussi

.

par **legeniedesalpages** » 30 Nov 2007, 00:00

ok merci tize,

en fait je ne savais pas qu'on pouvait avoir par bezout des informations plus précises sur les entiers m,n comme leur signe quand on connait le signe de m et n. C'est ce qui me bloquait.

par **yos** » 30 Nov 2007, 00:07

legeniedesalpages a écrit:en fait je ne savais pas qu'on pouvait avoir par bezout des informations plus précises sur les entiers m,n comme leur signe

Sur les entiers a et b tu veux dire?
En fait tu peux remplacer (a,b) par (a+mk, b+nk) et en choisissant ton entier k convenablement, tu as les signes souhaités.

par **legeniedesalpages** » 30 Nov 2007, 00:21

ok oui en fait on a une infinité de solutions pour cette équation diophantienne, je ne m'en rappelais plus du tout,

merci yos. :)

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