Petite question => Somme directe

[Kalou94]

Bonjour,

J'ai la somme directe E = Ker(f-2id) (+) Ker(f-3id) avec id l'endomorphisme identité de E (par ex : id(f(x)) = f(x)).

1) J'ai déjà montré Ker(f-2id) INTER Ker(f-3id) = {0E}
2) Ker(f-2id) appartient à E et Ker(f-3id) appartient à E
donc : Ker(f-2id) + Ker(f-3id) appartient à E.

3) C'est là, où il y'a un petit problème. J'ai regardé la correction :

E C Ker(f-2id) + Ker(f-3id) ?
Démontrons le :

Soit x C E (C = appartient)
x = (f(x) -2x) - (f(x) - 3x)

On pose x1 = (f(x) -2x) et x2 = - (f(x) - 3x)

x1 = (f(x) -2x) C Ker(f - 3id) ?
Démontrons le :

......
démo
.....

puis :

x2 = - (f(x) - 3x) C Ker(f - 2id) ?
Démontrons le :

......
démo
.....

Pourquoi on essaye de montrer x1 appartient à Ker(f - 3id) et x2 appartient à Ker(f - 2id) ? J'aurai plutôt montrer instinctivement : x1 appartient à Ker(f - 2id) et x2 appartient à Ker(f - 3id).

Pourquoi a t-on a choisi de faire cela pour résoudre ?

[Finrod]

Imagine que

avec dans et dans l'autre ker

Alors f(x) - 2x = x_{1}

C'est l'idée de la preuve. On cherche à montrer l'existence de donc il faut mettre en évidence le bon candidat, soit f(x)-2x .

[Kalou94]

qu'est ce que c'est x_{1} ?

[Finrod]

Je formule l'hypothèse de l'existence d'une décomposition de f suivant les deux noyau.
Je note x_{1}`et x_{2} un couple qui réalise cette décomposition.

C'est le moyen le plus intuitif de voir que si x_{1} existe, il est égal à f(x)-2x

Ce travail là est à faire au brouillon. Au propre, pour prouver l'existance de x_{1}, tu poses direct x_{1}:=f(x)-2x et tu montres qu'il convient. Comme dans la correction.

[Kalou94]

J'ai un peu de mal à comprendre le couple qui réalise la décomposition et... heu.. le raisonnement que tu as écris en général :cry:

[Finrod]

Tu n'as pas l'air très habitué aux sommes directes.

Un exemple : dans R², tu peux prendre

C'est l'idée, tu as une fonction qui vaut 2Id sur un sous ev et 3 Id sur l'autre.

Maintenant comment à partir de f construire un élément X de R² qui soit dans le noyau de f-3Id

Ben tu prend f(x)=(2x,3y) et tu enlève ce qui n'est pas multiple de 3, soit (2x,0)

Donc il faut prendre f(x,y) - 2 (x,0)

Tu enlèves ce qui est dans Ker(f-2id), il te reste ce qui est dans ker(f-3id).