Petit exo polynôme

[Lostounet]

Bonjour,

Déterminons tous les polynômes de R[X] vérifiant: XP(X - 1) = (X - 4)P(X)

J'ai trouvé quelque chose de la forme a(X - 1)(X - 2)(X - 3) bien entendu avec les multiplicités. Et le polynôme nul (inutile).
Mais je n'arrive pas à le rédiger !

[Sa Majesté]

Salut,

Il te manque un X
aX(X-1)(X-2)(X-3)

Pour rédiger, il suffit que tu expliques la démarche qui t'a permis de trouver :lol3:

[Lostounet]

Bonjour,

Déterminons tous les polynômes de R[X] vérifiant: XP(X - 1) = (X - 4)P(X)

J'ai trouvé quelque chose de la forme a(X - 1)(X - 2)(X - 3) bien entendu avec les multiplicités. Et le polynôme nul (inutile).
Mais je n'arrive pas à le rédiger !

C'est une démarche un peu algorithmique, j'ai l'impression d'avoir trouvé par hasard :p

XP(X - 1) = (X - 4)P(X)


Prenons y une racine de P.
P(y) = 0 entraine y - 1 racine de P ou bien y = 0

Prenons X - 1 = y
Alors y = 3 ou bien y + 1 est racine

La racine me semble comprise entre 0 et 3, car une fois on atteint ces bornes c'est fini.
C'est mal rédigé :/

[t.itou29]

C'est une démarche un peu algorithmique, j'ai l'impression d'avoir trouvé par hasard :p

XP(X - 1) = (X - 4)P(X)


Prenons y une racine de P.
P(y) = 0 entraine y - 1 racine de P ou bien y = 0

Prenons X - 1 = y
Alors y = 3 ou bien y + 1 est racine

La racine me semble comprise entre 0 et 3, car une fois on atteint ces bornes c'est fini.
C'est mal rédigé :/

Salut !
Je ferais plutôt un truc dans le genre:
En prenant x=0, on a -4P(0)=0 d'où 0 racine de P
En prenant x=1 on a donc P(0)=-3P(1)=0 d'où 1 racine de P
et pareil pour 3 et 4

[Lostounet]

Ok mais qu'est-ce qui te permet d'affirmer l'unicité de ces racines..?
et 4 n'est pas une racine a priori

[t.itou29]

Ok mais qu'est-ce qui te permet d'affirmer l'unicité de ces racines..?
et 4 n'est pas une racine a priori

ah oui pour le 4, je sais pas pourquoi je l'ai mis et effectivement ça ne prouve pas l'unicité mais je crois que ça dépasse mon niveau ... mais je vais quand même réfléchir dessus

[t.itou29]

J'ai peut-être quelque chose:
on sait qu'il existe un polynôme q tel que
P(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)q(x)
en reportant dans l'équation de départ il vient
x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)q(x-1)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)q(x)
Par comparaison q(x)=q(x-1) après je suis pas sur mais ça implique pas qu'il soit constant ?

[Lostounet]

Pourquoi q serait-il constant? Peut-être qu'il fait des petites vaguelettes avec q(x) égal à q(x-1) sans que q soit constant?
Mais je suis d'accord que le quotient q(x-1)/q(x) vaut 1 si q non nul

[t.itou29]

Pourquoi q serait-il constant? Peut-être qu'il fait des petites vaguelettes avec q(x) égal à q(x-1) sans que q soit constant?

q(x-1)=q(x) implique que q est périodique or à part les polynômes constants il n'y en a aucun.
Tout compte fait c'est peut-être pas bon car il faudrait prouver que l'égalité q(x-1)=q(x) reste vraie pour 0,1,2,3

Édit: finalement si, je viens de regarder une solution à un problème très proche (x-1 au lieu de x+1) et l'argument utilisé est bien le fait que q est périodique donc constant.

[chan79]

q(x-1)=q(x) implique que q est périodique or à part les polynômes constants il n'y en a aucun.
Tout compte fait c'est peut-être pas bon.

si on cherche des polynômes de degré 4, il y a:
P(x)=kx(x-1)(x-2)(x-3) avec k réel non nul

[Ben314]

Salut,
Effectivement, on a :


Donc 0 et 3 sont forcément racine de P.

Ensuite, si est une racine de P on a :
si est différent de 0
si est différent de 3
Ce qui implique que :
- Si P avait une racine non entière il aurait une infinité de racines ce qui est impossible.
- Si P avait une racine entière il aurait une infinité de racines ce qui est impossible.
- Si P avait une racine entière il aurait une infinité de racines ce qui est impossible.

On en déduit que les seule racines possibles pour P (autre que 0 et 3 qui le sont forcément) sont 1 et 2.
Cela laisse (très) peu de possibilités pour P...

[Doraki]

On peut aussi bêtement poser les équations.

En posant P(x) = a x^n + b x^(n-1) + ... et en écrivant les coefficients de x^(n+1) et de x^n de l'égalité on voit que P doit être de degré 4.
Ensuite on pose P(x) = a x^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e, on écrit les 3 autres équations données par l'égalité et on résout.

[Lostounet]

Merci bien Ben, je comprends cette démo, on peut ensuite confirmer les multiplicités des racines en remplaçant.

Mais Doraki pourrais-tu détailler un peu plus?
J'essaye d'écrire la définition avec sigma de a_kx^k de P et de remplaçer, c'est bien ça?

[Doraki]

Ben en fait regarder les premiers coefficients, c'est comme faire un développement asymptotique en l'infini.

Donc tu commences à faire le développement à l'ordre 1 :
tu poses P = a X^n + O(X^(n-1))
Alors dans l'égalité demandée on a :
XP(X-1) = aX^(n+1) + O(X^n)
(X-4)P(X) = aX^(n+1) + O(X^n)
Donc pour l'instant ça ne t'apprends rien.

Comme tu n'aimes pas abandonner à la moindre difficulté, tu décides de faire le développement à l'ordre 2 :

tu poses P(X) = a X^n + b X^(n-1) + O(X^(n-2))

Alors dans l'égalité demandée on a :

XP(X-1) = a X(X-1)^n + b X(X-1)^(n-1) + O(X^(n-1)) = a (X^(n+1) - n X^n) + bX^n + O(X^(n-1))
= a X^(n+1) + (b-na) X^n + O(X^(n-1))
Tandis que
(X-4)P(X) = (X-4)(aX^n + bX^(n-1)) + O(X^(n-1))
= a X^(n+1) + (b-4a) X^n + O(X^(n-1))

Maintenant par définition, deux polynômes sont égaux lorsqu'ils ont les mêmes coefficients, donc b-na = b-4a. Maintenant comme a est le coefficient dominant, il est non nul, donc n=4.