DM de PCSI sur les limites et développements limités de fonc

[EleveLambda]

Bonsoir,
Voici le sujet :
Soit f la fonction définie sur R* par f(x)=((x-1)^2)*Arctan(1/x).
On note C son graphe dans un repère orthonormé du plan.
1. Déterminer les limites de f aux bornes de R*
2. a. Calculer f'(x) pour tout réel x non nul et mettre le résultat sous la forme f'(x)=(x-1)g(x).
2. b. Calculer g'(x) et montrer que pour tout réel x non nul, g'(x)=-(x^(2)+2x+3)/(1+x^2)^2
3. Étudier l'existence de demi-tangente à C à gauche et à droite en 0.
4. Montrer que f admet au voisinage de +oo et de -oo un développement asymptotique de la forme f(x)=ax+b+(c/x)+o(1/x)
En déduire l'existence d'une asymptote à C au voisinage de +oo et de -oo,et la position de C par rapport à cette asymptote.

Je suis bloqué déjà à la première question, j'ai compris qu'il s'agissait d'une forme indéterminée j'ai donc fait un changement de variable t=1/x mais je n'arrive à en conclure la "vraie" limite.

Merci d'avance pour votre aide.

[phyelec]

Bonjour,

Pour la première question: arctan(1/x) quand x tend vers + ou - l'infini 1/x tend vers 0 => faites un DL à vous de choisir l'ordre ( 1,ou 2 ...)
Quand x tend vers 0+ 1/x tend vers + l'infini alors arctan (1/x) tend vers pi/2
je vous laisse continuer quand x tend vers 0-

[EleveLambda]

J'ai donc posé à nouveau t=1/x.
Quand t->0, arctan(t)=t+o(1)
Donc, quand x->+oo, arctan(1/x) = 1/x + o (1/x)
Mais je retombe sur limite égale à 0, comment faire ?

[Vassillia]

Bonjour,
Tu retomberas toujours sur une limite égale à 0, c’est inévitable puisque c'est la limite en revanche, si tu introduis le DL avec un ordre suffisant dans f(x) tu devrais pouvoir simplifier et lever l’indétermination.

[phyelec]

Essayez le DL à l'ordre 2

[phyelec]

@Vassillia, nos postes se sont croisés

[EleveLambda]

Je trouve comme DL:
Arctan(t)=t-(t^(3)/3)+o(t^3)=t(3-t^2)/3 + o(t^3)
Donc:
Arctan(1/x)=(3-(1/x^2))/3x + o(x^2)

[phyelec]

Oui.

[EleveLambda]

Comme (x-1)^2 tend vers +oo lorsque x tend vers +oo, je pense qu'il faut trouver un réel strictement positif pour finalement conclure par produit de limites que f tend vers +oo en +oo. Mais comment trouve-t-on ce réel avec l'expression du DL ?

[phyelec]

quand x tend vers +oo (x-1)^2 se comporte comme x^2,
donc f(x) se comporte comme x^2 (3-(1/x^2))/3x + o(x^3)

[EleveLambda]

Ah d'accord !
D'où f(x)=x-(1/3x^2) + o(x^2)
Donc mêmes limites que x

[phyelec]

mon calcul me donne x(3-(1/x^2)/3) +o(x^3)

[phyelec]

soit x-1/3x +o(x^3), si pas d'erreur de ma part

[EleveLambda]

Erreur corrigée merci.
Pour la 2.a. j'avais trouvé f'(x) = (x-1)g(x)
Avec g(x) = 2Arctan(1/x)+(x-1)(-1/x^2)/(1+(1/x)^2)
Je ne sais pas si c'est bon mais je ne parviens pas à résoudre la 2.b.

[phyelec]

moi, je retrouve le résultat.

pour g(x) j'ai:





je vous laisse terminer

[EleveLambda]

Je trouve bien g'(x) = -(x^(2)+2x+3)/(1+x^2)^2
Merci beaucoup pour votre aide !

[Carpate]

Bonsoir
Tu es vraiment en PCSI ?

[EleveLambda]

On dirait pas mais oui je suis vraiment en PCSI.