Question sur les développements limités

[kal]

Bonjour,

J'ai un petit problème au niveau des développements limités. En effet, considérons la formule de Taylor-Young qui permet de calculer le DL à l'ordre n au point a :



Si on applique cette formule pour calculer le développement limité à l'ordre 3 au point 0 de (1+x)^;):



Par ailleurs, considérons u une fonction :



Pouvons nous remplacer x par u dans le DL calculé précédemment ? Je m'interroge en effet sur cette possibilité, car si nous appliquons la formule de Taylor-Young pour calculer le DL³ en 0 de u, alors on obtient :



En effet, j'ai remplacé u par sa valeur (0), mais si je remplace les dérivées successives de u par 0, alors j'obtiens un résultat toujours nul [:barthaliastoxik]

Merci d'avance

[kazeriahm]

beuh le principe d'un développement limité, c'est de te donner le comportement d'une fonction au voisinage d'un point...

Premièrement, si u->0 tu peux développer (1+u)^a comme (1+x)^a

Deuxièmement, si tu remplace u par 0 dans un DL, tu obtiendras la valeur de (1+u)^a en u=0 ie 1 :we: de meme que quand tu remplace x par 0 dans (1+x)^a...

Parcontre tu peux développer (1+u)^a comme tu l'as fait puis tu remplaces u par son expression en x et tu as ce que, je pense, tu cherches...

[kal]

beuh le principe d'un développement limité, c'est de te donner le comportement d'une fonction au voisinage d'un point...

Premièrement, si u->0 tu peux développer (1+u)^a comme (1+x)^a

Si u->0 ? Mais u->0 que si x->0, sinon il ne tend pas vers 0. C'est bien ça ?

Parcontre tu peux développer (1+u)^a comme tu l'as fait puis tu remplaces u par son expression en x et tu as ce que, je pense, tu cherches...

Bien si je remplace u par 0, et u', u'' et u''' par leur valeur avec x, alors c'est le camboui et le résultat final ne correspond pas au corrigé de l'exercice :/

[kazeriahm]

bah tu peux considèrer u comme ta variable, c'est a dire que pour u voisin de 0, t'as le droit de développer pour x voisin de 34*e/Pi, on s'en fout...

en l'occurence quand x->0, u->0 mais bon...

ensuite pour ce que tu dis avec u, u', etc... si tu met x=0 dans u, tu dois le faire avec u' u'', etc...

parcontre tu remplace u,u' et u'' par leur expression en x et normalement c'est bon (ne remplace rien par 0).

D'ailleurs u(0)=u'(0)=u^(n)(0)=0

[kal]

bah tu peux considèrer u comme ta variable, c'est a dire que pour u voisin de 0, t'as le droit de développer pour x voisin de 34*e/Pi, on s'en fout...

en l'occurence quand x->0, u->0 mais bon...

Il suffit donc que ma fonction tende vers 0 en un point quelconque de x, si j'ai bien saisi.

ensuite pour ce que tu dis avec u, u', etc... si tu met x=0 dans u, tu dois le faire avec u' u'', etc...

parcontre tu remplace u,u' et u'' par leur expression en x et normalement c'est bon (ne remplace rien par 0).

D'ailleurs u(0)=u'(0)=u^(n)(0)=0

Heu, la je suis pas trop d'accord :
u(0) = 0
u'(0) = 1/2 car u'(x) = 1/2 + 1/2*x + 1/4*x²
u''(0) = 1/2 car u''(x) = 1/2 + 1/2*x
u'''(0) = 1/2 car u'''(x) = 1/2

C'est ça qui m'embete, car avec une variable x quelconque, on a x' = 1. Or ici, les dérivées valent 1/2, donc a priori, cela me semble incorrecte d'utiliser la formule :

En effet, dans cette formule, les x' ont été simplifié par leur valeur (1), alors que u'=u''=u'''=1/2. Mais bon, puisque u tend vers 0, j'ai quand même le droit c'est ça ?

Merci

[kazeriahm]

oui t'as le droit, desolé de l'erreur concernant les dérivées...

non mais pour etre précis tu dis

pour u voisin de 0, on a (1+u)^a=1+a*u+a*(a-1)*u/2+.....+o(u^n)

or quand x->0 u->0 donc pour x voisin de 0 on a

(1+u(x))^a=..... et tu remplaces u(x) par son expression en x...

j'espere etre clair :ptdr: