Partie entière et racine carrée

par **ttk** » 28 Déc 2013, 15:35

Bonjour, un petit problème sur les parties entières qui me donne du fil à retordre, pourtant ça ne m'avais pas l'air bien compliqué :
(nb: Va' désigne la racine carrée de a)

"Déterminer pour tout entier naturel n non nul [Vn' + Vn+1']=[V4n+2'] "

J'ai utilisé la définition de la partie entière et posé p Vn' + Vn+1' < p+1 et q V4n+2' < q+1
En combinant les inégalités j'ai essayé de montrer que p-q ou q-p=0 mais sans réussite donc je suis parti sur la manipulation de la première inégalité pour tenter d'aboutir à la deuxième et montrer que p est aussi partie entière de V4n+2':
0 p Vn' + Vn+1' < p+1
p² 2n+1 + V4n²+4n' < (p+1)²
p² 2n+1 +V(2n+1)²-1' < (p+1)²
Là, j'ai bien envie de montrer que 2n+1 + V(2n+1)²' < (p+1)² ( le coté gauche de l'inégalité s'obtient a fortiori) et ainsi dire p² 4n+2 < (p+1)² ainsi p = [V4n+2'].
Pour ce faire je veux montrer que (1): 0 < 2n+1 - V(2n+1)²-1' < 1 et que (2) : 2n+1 + V(2n+1)²-1' < p²+ 2p
J'ai maladroitement obtenu la (1) mais je bloque sur la (2)
Cette méthode me parait assez laborieuse et peu esthétique donc je me demandais si j'étais sur la bonne voie ... n'y a-t-il pas des manipulations plus simple à faire sur les inégalités ?
Merci pour votre attention devant ce texte peu lisible (les racines n'aident pas) et merci pour votre éventuelle aide.

par **alavacommejetepousse** » 28 Déc 2013, 16:36

Bonjour
1 développer A = [rac(n) +rac(n+1)]^2
2 encadrer A
3 utiliser que rac(t+1) < rac(t) +1
4 conclure

par **capitaine nuggets** » 28 Déc 2013, 16:41

Salut !

ttk a écrit:"Déterminer pour tout entier naturel n non nul [Vn' + Vn+1']=[V4n+2'] "

J'ai du mal à comprendre ton énoncé :
Il faut trouver les valeurs de

qui vérifient cette égalité, ou il faut montrer cette égalité pour tout

?

par **alavacommejetepousse** » 28 Déc 2013, 16:44

capitaine nuggets a écrit:Salut !

J'ai du mal à comprendre ton énoncé :
Il faut trouver les valeurs de qui vérifient cette égalité, ou il faut montrer cette égalité pour tout ?

déterminer = montrer = déterminer la démonstration ! c'est moderne
i presume

par **chan79** » 28 Déc 2013, 16:49

capitaine nuggets a écrit:Salut !

J'ai du mal à comprendre ton énoncé :
Il faut trouver les valeurs de qui vérifient cette égalité, ou il faut montrer cette égalité pour tout ?

Ca a l'air d'être vrai pour tout entier n
Pour n=0.5, c'est faux

par **ttk** » 28 Déc 2013, 18:03

[quote="alavacommejetepousse"]Bonjour
1 développer A = [rac(n) +rac(n+1)]^2
2 encadrer A
3 utiliser que rac(t+1) 2n+1 + rac((2n+1)²-1)+1 4n+2<(p+1)²+1 ??
J'ai du mal comprendre

par **alavacommejetepousse** » 28 Déc 2013, 18:14

alors
A compris entre 4n+1 et 4n+2 à montrer

par **ttk** » 28 Déc 2013, 19:23

alavacommejetepousse a écrit:alors
A compris entre 4n+1 et 4n+2 à montrer

Ca ne m'amène à rien puisque je veux montrer que 4n+2<(p+1)²

par **alavacommejetepousse** » 28 Déc 2013, 19:35

humhum ne soyons pas si affirmatif...

en prenant la racine carrée de cet encadrement qu'avons nous ?

par **ttk** » 28 Déc 2013, 19:40

alavacommejetepousse a écrit:humhum ne soyons pas si affirmatif...

en prenant la racine carrée de cet encadrement qu'avons nous ?

0 2rac(n+0,25) <= rac(A) < 2rac(n+0,5)

par **alavacommejetepousse** » 28 Déc 2013, 19:44

ben pas moi

rac(4n+1) < rac(n) + rac(n+1) < rac(4n+2)
ce qui grâce au point 3 à prouver permet de conclure

par **ttk** » 28 Déc 2013, 20:19

[quote="alavacommejetepousse"]ben pas moi

rac(4n+1) rac(4n+1) < rac(n) + rac(n+1) < rac(4n+1)+1
Mais après je ne vois pas, désolé je m'embrouille vraiment sur ce problème

par **Tiruxa** » 28 Déc 2013, 21:44

Bonsoir,

Votre problème est très intéressant enfin du moins il m'a intéressé aussi.

Voilà comment je continue : d'après le point 3

donc

d'où

mais peut on pour autant conclure ?

On a

qui est élément de [p;p+1[ et aussi de

deux intervalles de longueur 1 qui ne sont pas disjoints puisque leur intersection contient

.

Mais là où j'ai un problème c'est que l'on peut avoir dans cet ordre :

, p ,

, p+1 et là ça marche.

mais on peut avoir aussi
p ,

, p+1 ,

et là cela ne va plus du tout.

Pourquoi ce deuxième cas est il impossible ?

par **nodjim** » 29 Déc 2013, 09:35

Si le problème est: trouver tous les n tel que [Vn+V(n+1)]=[V(4n+2)] alors la réponse semble être:
Egalité dans les intervalles [n²-1;n²+n-1]

Mais je ne sais pas si c'est le vrai problème...

par **t.itou29** » 29 Déc 2013, 09:45

nodjim a écrit:Si le problème est: trouver tous les n tel que [Vn+V(n+1)]=[V(4n+2)] alors la réponse semble être:
Egalité dans les intervalles [n²-1;n²+n-1]

Mais je ne sais pas si c'est le vrai problème...

J'étais tombé sur ce problème (que j'avais pas réussi à résoudre d'ailleurs) et l'énoncé était de montrer que l'égalité est vérifiée (pour n dans N) lorsque 4n+2 n'est pas le carré d'un entier mais ils précisaient en remarque que ce n'était jamais le cas et donc vrai sans hypothèse supplémentaires (c'est juste utile pour la démo). C'est dans le cours d'arithmétique d'animaths si vous voulez le corrigé.

par **chan79** » 29 Déc 2013, 13:09

salut
On montre que

Soit p l'entier tel que

Soit A=

si

alors A et

ont bien la même partie entière p-1
si

, il faut montrer que

ainsi A et

auront la même partie entière p.

si

, on a

et

on a bien

il suffit de multiplier par 2 et d'élever au carré

par **ttk** » 29 Déc 2013, 15:00

Tiruxa a écrit:Mais là où j'ai un problème c'est que l'on peut avoir dans cet ordre :
, p , , p+1 et là ça marche.

mais on peut avoir aussi
p , , p+1 , et là cela ne va plus du tout.

Pourquoi ce deuxième cas est il impossible ?

Peut on conclure même si le 2è cas est démontré impossible ? Car il faut qu'on ait l'infériorité STRICTE de

devant p+1, qu'on a pas forcément si ?

par **Tiruxa** » 29 Déc 2013, 16:01

Si on l'a car 4n+2 ne peut pas être un carré.

En effet il est pair et non multiple de 4.

par **nodjim** » 29 Déc 2013, 16:24

A titou: j'ai donné la solution pour [Vn]+[V(n+1)]=[4n+2].

par **nodjim** » 29 Déc 2013, 18:37

Une autre approche.
[Vn+V(n+1)]=[V(4n+2)]
C'est vrai si l'incrémentation des parties entières se fait pour le même n pour les 2 expressions. L'incrémentation se fait quand on dépasse un carré parfait.

Pour un carré pair, que vaut n dans V(4n+2) ?
4n+2=4k²
n=k²-1/2 donc comme n entier, il faut n=k²
Pour n=k², l'incrémentation se fait elle dans l'expresion [Vn+V(n+1)] ?
Vk²+V(k²+1)>2k
Mais il faut vérifier que l'incrémentation ne se fait pas pour n=k²-1
V(k²-1)+Vk²<2k

C'est donc Ok pour un carré pair.

Pour un carré impair
4n+2=4k²+4k+1
n=k²+k-1/4 donc n=k²+k

V(k²+k)+V(k²+k+1)>? 2k+1=2V(k²+k+1/4)
V(k²+k+1)-V(k²+k+1/4)>? V(k²+k+1/4)-V(k²+k)
On pose x=k²+k+1/4
V(x+3/4)-Vx >? Vx-V(x-1/4)
V(x+3/4)+V(x-1/4)>?2Vx
2x+1/2+2V(x+3/4)(x-1/4)>?4x
V(x+3/4)(x-1/4)>?x-1/4
(x+3/4)(x-1/4)>?x²-x/2+1/16
x²+x/2-3/16>?x²-x/2+1/16
x>?1/4
tjs vrai.

Il faut aussi vérifier que pour n=k²+k-1 Vn+V(n+1)<2k+1=2V(k²+k+1/4)
Ici, la lecture directe le prouve.
V(k²+k-1)+V(k²+k)<2V(k²+k+1/4).

C'est donc OK aussi pour un carré impair.

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