Parité de polynome de degré n.

[Mobster]

Bonjoir !
Petit besoin d'aide concernant une démonstration sur un polynôme de degré n.
On a Pn = (1+X)^n - (1-X)^n.
Il faut démontrer que Pn est impair.
On part du binôme de Newton, puis...
Merci de votre aide :D

[Sylviel]

Pn est impaire si et seulement si tous ses coeff d'ordre pair sont nuls.

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Merci, du coup j'ai trouvé.
Bonne soirée !

[Ben314]

Salut,
Il me semble que, sans rien développer du tout, il est totalement évident que Pn(-X)=-Pn(X), c'est à dire que...

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En effet, avec la formule de l'imparité ça passe tout seul, mais je savais pas si il s'agissait de la même imparité lorsque l'on parle d'imparité d'un polynôme et d'imparité de fonction.
Or un polynôme est une fonction donc bon.. Enfin bref, j'voulais pas faire de bêtise :p
Et sinon, plus tard on demande de prouver que X divise Pn.
Je vois pas trop comment faire..
(En fait ce DM est celui de ma copine qui est en ECS, je suis en MPSI donc j'ai pas encore vu les polynômes ! Pour ça que j'ai plutôt du mal.)

[Ben314]

Moi, il me semble bien que, dire qu'un polynôme P est divisible par X-a ssi P(a)=...
En particulier, pour a=0 on a : ... (que toute fonction impaire définie en 0 est obligé de vérifier...)