Parité d'une Transformée de Fourier

par **JPhi** » 28 Aoû 2006, 17:10

Bonjour à tous,

Je voudrais savoir comment démontrer que si :

f est paire et réelle :

D'avance merci,
a+
JP

par **kaiser** » 28 Aoû 2006, 20:51

Bonsoir JPhi

Tout d'abord, sépare les parties réelle et imaginaire. Ensuite remarque que la fonction

est impair, donc son intégrale est nulle.

Kaiser

par **JPhi** » 28 Aoû 2006, 22:27

Bonsoir kaiser,

C'est justement là que je ne comprends pas. Pourquoi une fonction réelle paire * un

a forcément une intégrale nulle.

Merci

par **kaiser** » 28 Aoû 2006, 22:58

Tout simplement parce que c'est une fonction impaire.

En effectuant le changement de variables u=-t dans l'intégrale

, on montre que cette intégrale est aussi égale à

, d'où le résultat voulu.

De manière générale, si I est un intervalle symétrique par rapport à 0, et si g est une fonction impaire intégrable sur I, alors l'intégrale de g sur I est nulle.

Kaiser

par **JPhi** » 29 Aoû 2006, 10:36

C'est plus clair pour moi, merci.

par **kaiser** » 29 Aoû 2006, 13:08

Mais je t'en prie ! :happy2:

Parité d'une Transformée de Fourier

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