Ordre d'une matrice

[mehdi-128]

Bonsoir,

On sait que toute matrice de Mn(C) d'ordre fini est diagonalisable dans Mn(C).

Soit A une matrice de M3(Z) d'ordre fini tel que Sp(A)={} ou Sp(A)={}

1/ Montrer que A est diagonalisable dans M3(C).

Le polynôme caractéristique de A est scindé à racines simples donc A diagonalisable dans M3(C) c'est correct ?

2/ Déterminer l'ordre de la matrice A.

La correction donne un ordre de 4. Moi je trouve 3 dans les 2 cas, je calcule D^3 et je tombe sur I3. D est semblable à A et vaut
Quel est le bon résultat ?

Merci.

[pascal16]

Je pense que tu oublies le signe :
(-Id)^3 = -(Id)
(-Id)^4= Id

[Ben314]

Salut,

Le polynôme caractéristique de A est scindé à racines simples ...

pas si

... je calcule D^3 et je tombe sur I3.

Je comprend pas comment tu peut faire pour trouver alors que tu ne connait pas .
A quelle moment dans ta preuve utilise-tu le le fait que la matrice A est à coefficients entiers ?

[mehdi-128]

Salut,

Le polynôme caractéristique de A est scindé à racines simples ...

pas si

... je calcule D^3 et je tombe sur I3.

Je comprend pas comment tu peut faire pour trouver alors que tu ne connait pas .
A quelle moment dans ta preuve utilise-tu le le fait que la matrice A est à coefficients entiers ?

J'ai oublié on est dans la condition

On utilise la condition A est à coefficients entier pour montrer que est un entier relatif

[mehdi-128]

On a montré que toute matrice d'ordre fini de Mn(C) est diagonalisable et que ses valeurs propres sont des racines bième de l'unité avec b l'ordre de la matrice

On peut utiliser ça pour montrer que la matrice A de M3(Z) d'ordre fini est diagonalisable ?