Optimisation

[jeje56]

Bonjour,
Je n'arrive pas à montrer que la surface d'une casserole d'un volume donné est minimale quand sa hauteur est égale à son rayon...
x est le rayon : j'arrive à pour la surface
Comment prouver que le x qui minimise S(x) est h ?

Merci bcp.

[chan79]

Bonjour,
Je n'arrive pas à montrer que la surface d'une casserole d'un volume donné est minimale quand sa hauteur est égale à son rayon...
x est le rayon : j'arrive à pour la surface
Comment prouver que le x qui minimise S(x) est h ?

Merci bcp.

Bonsoir
Exprime l'aire S en fonction de x et h, puis remplace h par son expression en fonction de V et x.
Ecris que S'(x)=0

[jeje56]

Bonsoir
Exprime l'aire S en fonction de x et h, puis remplace h par son expression en fonction de V et x

C'est déjà fait avec V=1000. Mais comment prouver que le x qui annule S' est aussi le h ?...

[jeje56]

Le pb initial est le suivant : pourquoi une casserole possède-elle un rayon sensiblement égal à sa hauteur ?... Et la réponse intuitive serait que pour un rayon x égal à la hauteur h, la surface de métal utilisé est moindre... Comment prouver ceci ?
Merci de votre aide.

[Dlzlogic]

Le pb initial est le suivant : pourquoi une casserole possède-elle un rayon sensiblement égal à sa hauteur ?... Et la réponse intuitive serait que pour un rayon x égal à la hauteur h, la surface de métal utilisé est moindre... Comment prouver ceci ?
Merci de votre aide.

Bonjour,
Soit une casserole, son but est de contenir du liquide, donc sa valeur caractéristique est le volume du cylindre, pour une casserole ordinaire, si on néglige les arrondis. Il y a 2 variables r et h le rayon du fond et la hauteur.
V = f(r,h)
Pour des raisons économiques, on cherche à avoir une surface de tôle minimum.
S = g(r,h)
S est une fonction du second degré pour r, et du premier degré pour h
S sera minimum si sa dérivée s'annule. Donc, il faut écrire la fonction S, calculer sa dérivée et trouver la valeur de r qui l'annule, c'est à dire qui rend minimale la surface de tôle.
La relation donnant le volume permet de trouver une relation entre r et h.
Ecrivez l'expression du volume (capacité), l'expression de la surface de tôle, et vous devriez y arriver.

Je sais bien que je répète ce qu'a dit Chan, mais on peut pas vous dire grand-chose d'autre.

[jeje56]

Bonjour,
Soit une casserole, son but est de contenir du liquide, donc sa valeur caractéristique est le volume du cylindre, pour une casserole ordinaire, si on néglige les arrondis. Il y a 2 variables r et h le rayon du fond et la hauteur.
V = f(r,h)
Pour des raisons économiques, on cherche à avoir une surface de tôle minimum.
S = g(r,h)
S est une fonction du second degré pour r, et du premier degré pour h
S sera minimum si sa dérivée s'annule. Donc, il faut écrire la fonction S, calculer sa dérivée et trouver la valeur de r qui l'annule, c'est à dire qui rend minimale la surface de tôle.
La relation donnant le volume permet de trouver une relation entre r et h.
Ecrivez l'expression du volume (capacité), l'expression de la surface de tôle, et vous devriez y arriver.

Je sais bien que je répète ce qu'a dit Chan, mais on peut pas vous dire grand-chose d'autre.

Merci de ta réponse Dlzlogic.
Pour se rendre compte que le x qui minimise S est égal à h, on ne peut que reporter ce x trouvé dans l'expression de h(x), c'est bien ça ? Ou alors existe-il une façon de faire moins "bricolée" ?...

Merci !

[Dlzlogic]

Merci de ta réponse Dlzlogic.
Pour se rendre compte que le x qui minimise S est égal à h, on ne peut que reporter ce x trouvé dans l'expression de h(x), c'est bien ça ? Ou alors existe-il une façon de faire moins "bricolée" ?...

Merci !

Que ce soit "bricolé" ou pas n'a aucune importance.
Dans le cas présent, on peut écrire la relation de façon rigoureuse, mais des solutions par itérations successives ne sont pas interdites non plus.
Vous parlez de l'expression de h(x), quelle est-elle ?
Ecrivez d'abord les relations de V et de S, en fonction de r et h.

[chan79]

Merci de ta réponse Dlzlogic.
Pour se rendre compte que le x qui minimise S est égal à h, on ne peut que reporter ce x trouvé dans l'expression de h(x), c'est bien ça ? Ou alors existe-il une façon de faire moins "bricolée" ?...

Merci !

S(x)= x²+ 2 x*h
V= x²*h donc h= ....
Dans l'expression de S(x), remplace h par son expression en fonction de x et V
Mets ce que tu trouves

[jeje56]

Que ce soit "bricolé" ou pas n'a aucune importance.
Dans le cas présent, on peut écrire la relation de façon rigoureuse, mais des solutions par itérations successives ne sont pas interdites non plus.
Vous parlez de l'expression de h(x), quelle est-elle ?
Ecrivez d'abord les relations de V et de S, en fonction de r et h.

Oui pardon, j'ai appelé x le rayon (votre r) et h(x) la hauteur, fonction du rayon...
Pour V=1000, j'ai déjà donné S plus haut : S(x)=pi*x²+2*pi*x*1000/(pi*x²)

[Dlzlogic]

Oui pardon, j'ai appelé x le rayon (votre r) et h(x) la hauteur, fonction du rayon...
Pour V=1000, j'ai déjà donné S plus haut : S(x)=pi*x²+2*pi*x*1000/(pi*x²)

D'où vient V=1000 ?
Suivez les conseils de Chan ... donc h=...

[chan79]

V=pi*x²*h donc pi*h=V/x²
f(x)=pi*x²+2*pi*x*h
f(x)=pi*x²+2V/x
f'(x)=0 si 2*pi*x-2 V/x²=0 soit 2*pi*x=2V/x²
la surface est minimale si x³=V/pi soit pi*x³=V
dans ce cas, h=V/(pi*x²) = Vx/(pi*x³)=V*x/V=x
soit h=x