Mathématiques avancées, optimisation

[ptite_caro2mars]

[FONT=Comic Sans MS]hello tout le monde
je suis en L3
j'ai un exam jeudi de maths avancées....

.... je voudrais savoir comment démontrer qu'un ensemble A n'est pas convexe, quand on a:

A={x appartient R², x2= 1/2 et x2>= 1/2}

Ensuite je voudrais savoir comment on fait pour construire son enveloppe convexe et prouver qu'il sa'agit d'un simplexe.

Enfin j'ai l'ensemble :

K={ x appartient R², x1 et x2 >=0, 2.x1+x2 <=3 et x1+2.x2<=3}
il faut que je prouve que c'est un ensemble convexe
puis que je determine le cone des directions admissibles au point (1,1)
puis le cône polaire.

Enfin, je doit verifier que (1,1) maximise la fonction


Aidez moi svp je galere j'en peux plus!!!!
Si vous arrivez pas a rep a tout c pas grave ...mais aidez moi un petit peu


ptite_caro[/FONT]

[fahr451]

bonjour

dans un premier temps on peut dessiner l'ensemble

[ptite_caro2mars]

bonjour

dans un premier temps on peut dessiner l'ensemble

Oui pour l'ensemble A je pense qu'on peut tracer x2 = 1/x1 et prouvez que ce n'est pas convexe... Mais n'y a t il pas une methode analytique

[fahr451]

je pense qu 'il est intéressant d'avoir la tête de l'ensemble si on veut en chercher les propriétés

[ptite_caro2mars]

Oui je l'ai tracé en tenant compte de x1>= 1/2 et x2 >=1/2

[fahr451]

maintenant tu es en mesure de montrer qu il est convexe ou non ?

[ptite_caro2mars]

oui je vois sa forme il est pas convexe mais je pense pas que cela suffise de voir graphiquement

[ptite_caro2mars]

est ce que vous auriez des éléments pour m'aider sur la suite de l'exercice ?

[ptite_caro2mars]

plus personne ne m'aide !!!


s'il vous plait un petit coup de main !!!!!!


:cry:




je suis en L3 je suis sure que je pourrais vous aider a resoudre des problemes aussi ....
entre matheux fo etre solidaire !!!!

[hqckers]

ui ta juste a te servir du fait kune partie est convexe ssi pour tout N et N' appatenant a ton ensemble alor le segment NN' est inclut dans cet ensemble!
ici prend deux points ki ne le vérifie pa

[ptite_caro2mars]

ok merco beaucoup !!!
et pour la suite est ce que vous avez une idée !!!?

[ptite_caro2mars]

[FONT=Comic Sans MS]Oui j'ai cherché !!!

Pour A non convexe,
j'avais déjà pensé à l'idée de tracer ( c'est d'ailleurs ce que 'ai fait)
mais je pense que cela ne suffit pas de le pouver comme ça.
Ensuite j'ai essayé de partir de la definition de la convexité (si C convexe alors pour tout x,y qui appartient à C, le segment [xy] appartient à C)mais j'arrive pas à faire le lien avec mon ensemble A....


Apres pour construire l'enveloppe convexe de A... J'ai cherché pleins de trucs mais je colle carrément.

Apres pour K={ x appartient R², x1 et x2 >=0, 2.x1+x2 3
si on prend des coordonnées spécifiques on a alors :

(µ.x1 + (1-µ)y1) + 2(µx2 + (1-µ)y2) >3


si on prend le cas où µ=0 on voit qu'on a :

y1 + 2y2 >3 or c'est faux car y appartient à l'ensemble K.


Donc K est convexe ....

Pour le cône normal je n'y arrive pas, par contre pour le cône polaire je pars de la définition du cône polaire c'est a dire :
{y appartient à R² tel que y'.xo<=0} (le ' c'est pour transposée)

et après je remplace avec mes données :

et j'ai pour cone polaire :

(y1,y2).(1,1)<=0


voilà je sais pas si c'est correct mais c'est ce que j'ai réussi à faire ...
[/FONT]

[ptite_caro2mars]

je sais qu'il faut montrer que c'est dans K maisc'est justement ce que je n'arrive pas à faire ......

[ptite_caro2mars]

ok merci beh je vais essayer et je te dis si jy arrive !!!
en tout cas merci pour le coup de main

[fahr451]

pour le premier

l'ensemble est l 'intérieur d'un "triangle" dont un des côtés est arrondi l'enveloppe convexe est le vrai triangle

[ptite_caro2mars]

je comprends pas vraiment ce que tu eux dire par vrai triangle ?

[fahr451]

raconte moi la forme du domaine pour voir si on est d 'accord

[cyberchand]

Le "triangle" en question est délimité par les points :
(1/2, 1/2), (2, 1/2), (1/2, 2). Le segment liant les deux derniers points n'est pas dans le domaine.

[fahr451]

cyberchand cf la charte du forum il est malvenu de donner la réponse explicite quand une autre personne cherche à faire trouver

merci de ta compréhension

[cyberchand]

Ah, désolé, je ferai gaffe maintenant. :happy2: enfin c'était surtout pour aider à la compréhension...