Mathématiques- optimisation de fonction je suis perdue :(

[Cocotte65]

Bonjour,
Je suis en 2è année de licence de mathématiques et j'aurai besoin d'aide par rapport à 3 exercices car je bloque complètement :s

1er exercice
Rechercher les extremas des fonctions suivantes:
f(x,y)= xy-ln(x^2+y^2)
f(x,y)= (y^4)+ (x^2)- 2(y^2)

=> Je trouve des points critiques égaux à (0,0) et ce n'est pas logique pour la suite.

2eme exercice
Soit f(x,y)= xy / (1+x^2)(1+y^2)

- Optimiser la fonction f
- Les solutions trouvées sont-elles des solutions globales du problème?

3ème exercice
Monsieur Fricasset possède un portefeuille boursier uniquement constitué d'actions A et B en proportions a et b. Un pseudo cabinet de "conseil" mesure l'espérance de la rentabilité moyenne du portefeuille de la manière suivante:
Rp= -2,5(a^2) -10(b^2) +10a+20b

Déterminer les proportions a et b pour que la rentabilité moyenne soit maximale.

J'espère que quelqu'un pourra m'aider car je suis vraiment perdue. Je vous remercie d'avance.

[Ben314]

Pour l'exo 1, dit moi ce que tu as fait et (si cocotte est sage) je te dirais pourquoi c'est faux....

Pour le premier du 1), les "candidats potentiels" pour être des max/min locaux sont (1,1) et (-1,-1)...

Pour le second, ce sont (0,-1), (0,0) et (0,1)

[Cocotte65]

Pour f(x,y)= xy -ln(x^2+y^2)
j'ai trouvé les points candidats (1,1) et (-1,-1)
Mais en réalisant la matrice hessienne jai trouvé D2f= [ 0 1+4xy
1+4xy 0 ]

Ce qui fait qu'on trouve une trace=0 et donc je n'arriva pas a continuer car il faut que la trace de D2f soit soit superieure soit inferieure à 0.

et pour f(x,y)= (y^4) + (x^2) -2(y^2)
Je n'ai pas réussi du tout du tout :(

[Ben314]

Pour la matrice hessienne je ne trouve pas exactement la même (j'ai en plus une division par (x^2+y^2)^2) mais ca ne change pas la trace.

Si la trace est nulle, les valeur propres sont opposées l'une de l'autre (tu as du voir que la hessienne, étant symétrique, est forcément diagonalisable) et elle sont non nulle (sinon la matrice serait nulle)
donc c'est un point selle (i.e. un minimum local dans certaines directions et un maximum local dans d'autres directions)

Tu risque d'avoir directement dans le cours un résultat du type :
EN DIMENSION 2 (à ne pas oublier...)
det>0 et trace>0 => Min local
det>0 et trace<0 => Max local
tout les autres cas AVEC det NON NUL => point selle

On peut (on doit) se souvenir de ces résultats en pensant aux valeurs propres de la matrice et en utilisant :
produit des 2 valeurs propres = det
somme des 2 valeurs propres = trace
2 val. propres >0 => min local (elle augmente au voisinage)
2 val. propres <0 => max local (elle diminue au voisinage)
1 val propre<0, une >0 => point selle (ou col) (elle augmente ou diminue selon la direction que l'on prend)
1 des deux val.propre=0 => on ne sait pas bien ce qui se passe

Pour conclure dans le a) du 1), le déterminant est <0 donc ce n'est pas la peine de regarder la trace...

Pour le b) les calculs sont plus simples que pour le a) !!

[Cocotte65]

Je trouve le det de D2f=3 donc >0 pour le a)...

[Ben314]

heu... sauf erreur, pour une matrice
0 a
a 0
le det est 0x0-axa=-a^2<0 (si a différent de 0)...

[Cocotte65]

Oui effectivement il s'agit d'une erreur de ma part je trouve bien det D2f<0 :)
Mais apres suffit-il seulement de dire qu"il s'agit donc d'un point selle?
(je parle tjs du a)

[Ben314]

Par rapport à la question de départ, tu peut affirmer qu'il n'y a ni maximum, ni minimum local donc surement pas de Max ou Min global.

A la limite, on pourrait regarder le comportement de f lorsque (x,y) "tend vers l'infini" i.e. s'éloigne indéfiniement de (0,0) pour chercher le Sup et l'Inf de f, mais je n'ais pas l'impression qu'on te le demande...

[Cocotte65]

f(x,y)= (y^4) + (x^2) -2(y^2)

Pour les points candidats
Je trouve df/dx= 2x=0 et df/dy= 4(y^-3) -4y

Puis derivée seconde de f par rapport a x= 2
par rapport a y=-4

d^2f/(dxdy)=0 et d^2f/(dydx)=0

Ainsi matrice hessienne = [2 0
0 -4]
et Det D2f<0

[Cocotte65]

??? :hein:

[fatal_error]

salut,

ya des logiciels qui font tres bien les dérivations et pis même les extremums.
Sinon, pour la derniere, sans sortir l'artillerie lourde :
f(x,y)= (y^4) + (x^2) -2(y^2)
On remarque deja que x^2 est minimum pour x = 0
pis y^4 - 2y^2, c'est un peu comme étudier g(u) = u^2 - 2u avec u = y^2, cqui est pas tres violent non plus!

[Cocotte65]

f(x,y)= (y^4) + (x^2) -2(y^2)

Pour les points candidats
Je trouve df/dx= 2x=0 et df/dy= 4(y^-3) -4y

Puis derivée seconde de f par rapport a x= 2
par rapport a y= -12(y^-3) -4

d^2f/(dxdy)=0 et d^2f/(dydx)=0

Ainsi matrice hessienne = [2 0
0 -4]
et Det D2f<0

:hein: :hein: :hein:

[Cocotte65]

Cocotte a été sage et n'a pas eu le droit a une réponse ! :(

[Cocotte65]

Help please! :(:(

[Cocotte65]

Cocotte a été sage et n'a pas eu de réponse

[Ben314]

Bon, d'accord cocotte a été sage...
Mais Ben314 s'est fait engeuler qu'il restait toute l'aprés midi le cul collé à son siége...

Pour le message de fatal_error, c'est bien plus simple comme il le dit, mais je pense qu'au début, il vaut peut-être mieux s'en tenir à la méthode con-con du cours...

Bon, pour cet exo, tes dérivées partielles sont presque o.k.
sauf df/dy=4y^3-4y
donc les points critiques sont...(3points)
pour les dérivées secondes o.k. sauf d²f/dy² (qui contient encore du y).
Ensuite tu regarde les 3 matrices hessiennes correspondant aux 3 points critiques...

P.S. le point vert ou bleu te dit qui est en ligne. Ca peut servir : j'ai constaté que, souvent, ceux qui sont pas là ne répondent pas... :marteau:

[Cocotte65]

df/dy= 4(y^3)-4y et
d^2f/d(y^2)=12(y^2) -4

Et comment connait on le nombre de points critiques (ou candidats) à trouver?

Désolé je n'avais pas vu le systeme de "point vert point bleu" sur le coté ^^ j'etais trop dans mes calculs :briques:

[Ben314]

Les points critiques sont (par définitions) ceux pour lesquel les dérivées partielles sont toute nulles : ici cela veut dire les points (x,y) tels que
2x=0 et 4y^3-4y=0 (c'est pas trop dur ici...)

[Cocotte65]

Mais pourquoi sont il au nombre de 3? ^^
Et je n'arrive pas à résoudre 4(y^3)-4y=0 :s:s

[Ben314]

Là, tu déconne !!!!
Pour chercher les solutions de ???=0, on factorise.
N'y a-t-il pas dans 4y^3-4y un truc pas trop dur à factoriser ?