Pour le deuxième exercice, c'est plus compliqué que le premier:
On a
 = x^2 + y^2 + z^2)
avec la contrainte (xyz = 1) donc x, y et z sont tous non nuls et
.
En considérant la contrainte sus mentionnée on a
 = f_{xyz = 1}(x,y,z))
avec
la restriction de f sur le
domaine ou la contrainte est vérifiée.
On a
 = x^2 + y^2 + \frac{1}{(xy)^2 })
, et comme l'a indiqué Mme Sylviel, les extremums de
se trouvent parmi les points qui
annulent
)
et
)
.
On a aussi
 = 2 x - \frac{2}{x^3 y^2})
et
 = 2 y - \frac{2}{y^3 x^2})
,
donc
 = 0 \rightarrow)
.............
et
 = 0 \rightarrow)
............. .
Après avoir trouvé les points qui sont les extremums de
(il y en a quatre) ,
vous devez calculer
)
,
)
et
)
et utiliser le théorème suivant pour conclure.
Théorème pour les fonctions de 2 variables.
On utilise les notations de MONGE, du nom du mathématicien français
MONGE Gaspard (1746-1818).
Pour un extremum (a,b) , on a :
r =
)
s =
)
t =
)
- Si
et r > 0 alors
admet un minimum strict en (a,b).
- Si
et r < 0 alors
admet un maximum strict en (a,b).
- Si
)
alors
n’admet pas d’extremum local en (a,b) , on dit alors que f admet un point-selle (ou un point col en a).
Quand vous aurez trouvé les extremums de
, la conclusion est immédiate.
