Opérateurs compacts

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Lostounet
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Opérateurs compacts

par Lostounet » 04 Mar 2017, 14:22

Bonjour,

Quelques questions pour comprendre ...

Si A est linéaire continu, on sait qu'il existe un unique adjoint A*.
Soit H un hilbert séparable et deux bases hilbertiennes et (il en existe car séparable)

C'est peut-être tout bête mais... pourquoi?

Et si on avait pris d'autres bases genre (en'), cela voudrait alors dire qu'avec l'adjoint on peut toujours se ramener à une même base (fn) non?
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zygomatique
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Re: Opérateurs compacts

par zygomatique » 04 Mar 2017, 15:21

salut

pas bien clair ... l'énoncé est-il complet (comme H !!!) ?

mais il me semble que par définition :

de même

...
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

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Ben314
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Re: Opérateurs compacts

par Ben314 » 04 Mar 2017, 19:29

Je comprend que dalle à ton truc : ton "application linéaire continue A", elle va de quoi dans quoi ?
Si c'est de H dans H, le premier exemple qui me vient à l'esprit, c'est A= et la série est grossièrement divergente (on somme que des 1...)
Et pour qu'une telle série converge, ben c'est clairement tout sauf "gratuit"...
Lostounet a écrit:Et si on avait pris d'autres bases genre (en'), cela voudrait alors dire qu'avec l'adjoint on peut toujours se ramener à une même base (fn) non?
Et ça je comprend même pas le sens que ça pourrait avoir : tu veut dire quoi par "se ramener à" ?
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Re: Opérateurs compacts

par Ben314 » 04 Mar 2017, 20:05

En recherchant sur le net, j'ai fini par retrouver le nom que ça porte les opérateurs en question :

Définition : Si est un Hilbert séparable on dit qu'une application linéaire est un opérateur de Hilbert-Schmidt lorsque qu'il existe une base Hilbertienne telle que la série soit convergente.

Théorème : Si est un opérateur de Hilbert-Schmidt alors il est continu et même compact, son adjoint est aussi de Hilbert-Schmidt et qui en fait ne dépend pas de la base Hilbertienne .

Définition : On note .

Et c'est un bon exercice de chercher la preuve du théorème en question qui n'est pas super dure via l'égalité de Parseval.
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Re: Opérateurs compacts

par Lostounet » 04 Mar 2017, 20:52

Ben314 a écrit:Je comprend que dalle à ton truc : ton "application linéaire continue A", elle va de quoi dans quoi ?
Si c'est de H dans H, le premier exemple qui me vient à l'esprit, c'est A= et la série est grossièrement divergente (on somme que des 1...)
Et pour qu'une telle série converge, ben c'est clairement tout sauf "gratuit"...
Lostounet a écrit:Et si on avait pris d'autres bases genre (en'), cela voudrait alors dire qu'avec l'adjoint on peut toujours se ramener à une même base (fn) non?
Et ça je comprend même pas le sens que ça pourrait avoir : tu veut dire quoi par "se ramener à" ?


Bonjour et merci de vos réponses...

Désolé, je n'ai pas pris le temps de bien définir le cadre de travail...

La série peut diverger mais il semble qu'il y ait une condition sur cette série (convergence) pour assurer la compacité de A.
Merci, je vais chercher du côté de Parseval
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Ben314
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Re: Opérateurs compacts

par Ben314 » 04 Mar 2017, 21:55

Lostounet a écrit:La série peut diverger mais il semble qu'il y ait une condition sur cette série (convergence) pour assurer la compacité de A.
Oui, mais ce n'est pas une C.N.S. : la série peut parfaitement diverger alors que l'opérateur est compact.

Sauf erreur, une C.N.S. pour qu'il soit compact, c'est que pour une base Hilbertiennes (<=> c'est vrai pour toutes les base Hilbertiennes) et c'est bien évidement strictement plus faible comme condition que la c.v. de la série
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