Opérateurs compacts

[legeniedesalpages]

Bonjour,

je bloque sur ce problème:

Soient et des espaces vectoriels normés et une application linéaire de dans .

Je ne vois pas comment procéder pour montrer que si est finie, alors est compacte.

Merci pour votre aide.

[charif]

bs:


une application compacte .....????,,,

c'est nouveau !!!!!!!!

[Doraki]

Une boule fermée d'un evn de dimension finie est toujours compacte.
est-ce que T est continue ?

[legeniedesalpages]

bs:


une application compacte .....????,,,

c'est nouveau !!!!!!!!

non je pense que ça date un peu: http://fr.wikipedia.org/wiki/Op%C3%A9rateur_compact

Doraki, je sais bien mais je ne vois pas comment exploiter ce résultat.

Il y a un point qui me parait bizarre aussi, si ce serait le cas alors les formes linéaires seraient compactes, et donc continues, et pourtant il existe des formes linéaires non continues (http://maths-forum.com/showthread.php?t=66264 ).

[legeniedesalpages]

est-ce que T est continue ?

c'est pas dit dans l'énoncé.

[Doraki]

Ben si c'est pas précisé tu peux pas faire grand chose.

N'importe quel opérateur non continu est un contre-exemple à ton exercice.
En supposant T continue, par contre le résultat est vrai et pas très dur à montrer.

[charif]

[quote="legeniedesalpages"]Bonjour,




alors est compacte.

c'est quoi une application compacte??,,

[yos]

La continuité de f est parfois écrite par l'appartenance à L(E,F) avec un L en majuscule cursive.

[legeniedesalpages]

ok ça doit être un oubli dans l'énoncé donc, merci.

Charif >> tout est dit dans cet article de wiki: http://fr.wikipedia.org/wiki/Op%C3%A9rateur_compact

[legeniedesalpages]

je cherche un exemple d'application linéaire continue non compacte. Il me semble que l'identité convient si est un Banach de dimension infinie, en vertu du théorème de Riesz qui dit que les boules fermées ne sont pas compactes.

Enfin je dois montrer que , l'ensemble des applications linéaires compactes de dans , est un sous-espace vectoriel fermé de .

Donc j'ai montré que c'est un sous-espace, mais j'ai du mal pour montrer que est fermé. :briques:

[Doraki]

J'imagine que F est un espace de Banach et donc qu'il est complet ?

Ben tu prends une suite d'opérateurs compacts Tn qui converge vers T dans L(E,F), et une suite bornée (xk) d'éléments de E. Comme les Tn sont compacts, les suites Tn(xk) ont des valeurs d'adhérence dans F.
Tu dois alors montrer que la suite T(xk) aussi a une valeur d'adhérence dans F.

[legeniedesalpages]

ok ça devait être encore une erreur d'énoncé, du coup ça paraît plus facile, merci.