Opérateurs compacts
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Lostounet
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par Lostounet » 04 Mar 2017, 15:22
Bonjour,
Quelques questions pour comprendre ...
Si A est linéaire continu, on sait qu'il existe un unique adjoint A*.
Soit H un hilbert séparable et deux bases hilbertiennes
et
(il en existe car séparable)
C'est peut-être tout bête mais... pourquoi
?
Et si on avait pris d'autres bases genre (en'), cela voudrait alors dire qu'avec l'adjoint on peut toujours se ramener à une même base (fn) non?
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zygomatique
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par zygomatique » 04 Mar 2017, 16:21
salut
pas bien clair ... l'énoncé est-il complet (comme H !!!) ?
mais il me semble que par définition :
de même
...
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
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Ben314
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par Ben314 » 04 Mar 2017, 20:29
Je comprend que dalle à ton truc : ton "
application linéaire continue A", elle va de quoi dans quoi ?
Si c'est de H dans H, le premier exemple qui me vient à l'esprit, c'est A=
et la série
est grossièrement divergente (on somme que des 1...)
Et pour qu'une telle série converge, ben c'est clairement tout sauf "gratuit"...
Lostounet a écrit:Et si on avait pris d'autres bases genre (en'), cela voudrait alors dire qu'avec l'adjoint on peut toujours se ramener à une même base (fn) non?
Et ça je comprend même pas le sens que ça pourrait avoir : tu veut dire quoi par "
se ramener à" ?
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Ben314
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par Ben314 » 04 Mar 2017, 21:05
En recherchant sur le net, j'ai fini par retrouver le nom que ça porte les opérateurs en question :
Définition : Si
est un Hilbert séparable on dit qu'une application linéaire
est
un opérateur de Hilbert-Schmidt lorsque qu'il existe une base Hilbertienne
telle que la série
soit convergente.
Théorème : Si
est un opérateur de Hilbert-Schmidt alors il est continu et même compact, son adjoint
est aussi de Hilbert-Schmidt et
qui en fait ne dépend pas de la base Hilbertienne
.
Définition : On note
.
Et c'est un bon exercice de chercher la preuve du théorème en question qui n'est pas super dure via l'égalité de Parseval.
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Lostounet
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par Lostounet » 04 Mar 2017, 21:52
Ben314 a écrit:Je comprend que dalle à ton truc : ton "
application linéaire continue A", elle va de quoi dans quoi ?
Si c'est de H dans H, le premier exemple qui me vient à l'esprit, c'est A=
et la série
est grossièrement divergente (on somme que des 1...)
Et pour qu'une telle série converge, ben c'est clairement tout sauf "gratuit"...
Lostounet a écrit:Et si on avait pris d'autres bases genre (en'), cela voudrait alors dire qu'avec l'adjoint on peut toujours se ramener à une même base (fn) non?
Et ça je comprend même pas le sens que ça pourrait avoir : tu veut dire quoi par "
se ramener à" ?
Bonjour et merci de vos réponses...
Désolé, je n'ai pas pris le temps de bien définir le cadre de travail...
La série peut diverger mais il semble qu'il y ait une condition sur cette série (convergence) pour assurer la compacité de A.
Merci, je vais chercher du côté de Parseval
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Ben314
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par Ben314 » 04 Mar 2017, 22:55
Lostounet a écrit:La série peut diverger mais il semble qu'il y ait une condition sur cette série (convergence) pour assurer la compacité de A.
Oui, mais
ce n'est pas une C.N.S. : la série peut parfaitement diverger alors que l'opérateur est compact.
Sauf erreur, une C.N.S. pour qu'il soit compact, c'est que
pour une base Hilbertiennes (<=> c'est vrai pour toutes les base Hilbertiennes) et c'est bien évidement strictement plus faible comme condition que la c.v. de la série
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