Opérateurs compacts

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
Avatar de l’utilisateur
Lostounet
Admin
Messages: 9665
Enregistré le: 16 Mai 2009, 13:00

Opérateurs compacts

par Lostounet » 04 Mar 2017, 15:22

Bonjour,

Quelques questions pour comprendre ...

Si A est linéaire continu, on sait qu'il existe un unique adjoint A*.
Soit H un hilbert séparable et deux bases hilbertiennes et (il en existe car séparable)

C'est peut-être tout bête mais... pourquoi?

Et si on avait pris d'autres bases genre (en'), cela voudrait alors dire qu'avec l'adjoint on peut toujours se ramener à une même base (fn) non?
Merci de ne pas m'envoyer de messages privés pour répondre à des questions mathématiques ou pour supprimer votre compte.



Avatar de l’utilisateur
zygomatique
Habitué(e)
Messages: 6928
Enregistré le: 20 Mar 2014, 14:31

Re: Opérateurs compacts

par zygomatique » 04 Mar 2017, 16:21

salut

pas bien clair ... l'énoncé est-il complet (comme H !!!) ?

mais il me semble que par définition :

de même

...
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21479
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

Re: Opérateurs compacts

par Ben314 » 04 Mar 2017, 20:29

Je comprend que dalle à ton truc : ton "application linéaire continue A", elle va de quoi dans quoi ?
Si c'est de H dans H, le premier exemple qui me vient à l'esprit, c'est A= et la série est grossièrement divergente (on somme que des 1...)
Et pour qu'une telle série converge, ben c'est clairement tout sauf "gratuit"...
Lostounet a écrit:Et si on avait pris d'autres bases genre (en'), cela voudrait alors dire qu'avec l'adjoint on peut toujours se ramener à une même base (fn) non?
Et ça je comprend même pas le sens que ça pourrait avoir : tu veut dire quoi par "se ramener à" ?
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21479
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

Re: Opérateurs compacts

par Ben314 » 04 Mar 2017, 21:05

En recherchant sur le net, j'ai fini par retrouver le nom que ça porte les opérateurs en question :

Définition : Si est un Hilbert séparable on dit qu'une application linéaire est un opérateur de Hilbert-Schmidt lorsque qu'il existe une base Hilbertienne telle que la série soit convergente.

Théorème : Si est un opérateur de Hilbert-Schmidt alors il est continu et même compact, son adjoint est aussi de Hilbert-Schmidt et qui en fait ne dépend pas de la base Hilbertienne .

Définition : On note .

Et c'est un bon exercice de chercher la preuve du théorème en question qui n'est pas super dure via l'égalité de Parseval.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Avatar de l’utilisateur
Lostounet
Admin
Messages: 9665
Enregistré le: 16 Mai 2009, 13:00

Re: Opérateurs compacts

par Lostounet » 04 Mar 2017, 21:52

Ben314 a écrit:Je comprend que dalle à ton truc : ton "application linéaire continue A", elle va de quoi dans quoi ?
Si c'est de H dans H, le premier exemple qui me vient à l'esprit, c'est A= et la série est grossièrement divergente (on somme que des 1...)
Et pour qu'une telle série converge, ben c'est clairement tout sauf "gratuit"...
Lostounet a écrit:Et si on avait pris d'autres bases genre (en'), cela voudrait alors dire qu'avec l'adjoint on peut toujours se ramener à une même base (fn) non?
Et ça je comprend même pas le sens que ça pourrait avoir : tu veut dire quoi par "se ramener à" ?


Bonjour et merci de vos réponses...

Désolé, je n'ai pas pris le temps de bien définir le cadre de travail...

La série peut diverger mais il semble qu'il y ait une condition sur cette série (convergence) pour assurer la compacité de A.
Merci, je vais chercher du côté de Parseval
Merci de ne pas m'envoyer de messages privés pour répondre à des questions mathématiques ou pour supprimer votre compte.

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21479
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

Re: Opérateurs compacts

par Ben314 » 04 Mar 2017, 22:55

Lostounet a écrit:La série peut diverger mais il semble qu'il y ait une condition sur cette série (convergence) pour assurer la compacité de A.
Oui, mais ce n'est pas une C.N.S. : la série peut parfaitement diverger alors que l'opérateur est compact.

Sauf erreur, une C.N.S. pour qu'il soit compact, c'est que pour une base Hilbertiennes (<=> c'est vrai pour toutes les base Hilbertiennes) et c'est bien évidement strictement plus faible comme condition que la c.v. de la série
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

 

Retourner vers ✯✎ Supérieur

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Rdvn et 23 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite