Bonjour à tous :)
J'aurais besoin de votre aide dans un problème qui traite des noyaux et images itérés d'un endomorphisme f dans un K-espace vectoriel E, pas forcément de dimension finie. On a déja montré que la suite des noyaux itérés (kerf, ker(f²), ker(f^3) etc) était croissante pour l'inclusion, de même que celle des images (Im(f), Im(f²), Im(f^3) etc) est décroissante.
On vient aussi de montrer que la suite des images itérées stationne à partir d'un rang q, ie pour tout k supérieur à q, on a Im(f^q)=Im(f^k)
Je voudrais maintenant montrer que pour ce rang q en question on a: E=ker(f^q)+Im(f^q)
en dimension finie je vois comment faire mais pas ici: j'ai tenté une analyse synthèse: soit x dans E, si x=t+z avec t dans le noyau et z dans l'image, on a alors par linéarité f^q(x)=f^q(z), (on fait sauter le t en appliquant f^q) mais je ne vois mas comment à partir de cette égalité sur f^q(z) on peut déduire une information sur z...
merci d'avance de vos illuminations...
fab
Noyaux et images itérés
19 messages
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par alavacommejetepousse » 05 Mar 2010, 09:26
bonjour ,
on a f^q (x) ds Imf^q donc aussi dans Imf^(2q) ce qui permet de trouver un z , t s 'en déduit alors
on a f^q (x) ds Imf^q donc aussi dans Imf^(2q) ce qui permet de trouver un z , t s 'en déduit alors
par Fab-333 » 05 Mar 2010, 10:03
je vois mal comment
en effet si on part de: f^q(x)=f^q(z). comme z est dans Im(f^q) on pose z=f^q(z') jusque là d'accord, on a donc f^q(x)=f^2q(z') mais a-t-on le droit de dire que f^2q(z')=f^q(z')? ce n'est pas parce que l'ensemble des images de f^q est le même que celui des images de f^2q que l'on peut faire cette conclusion...
en effet si on part de: f^q(x)=f^q(z). comme z est dans Im(f^q) on pose z=f^q(z') jusque là d'accord, on a donc f^q(x)=f^2q(z') mais a-t-on le droit de dire que f^2q(z')=f^q(z')? ce n'est pas parce que l'ensemble des images de f^q est le même que celui des images de f^2q que l'on peut faire cette conclusion...
par Fab-333 » 05 Mar 2010, 10:12
quant au fait que f^q(x) est dans Im(f^2q(x)) je ne vois pas comment s'en servrir
par alavacommejetepousse » 05 Mar 2010, 10:18
alors
on a f^q(x) dans Imf^q comme 2q supérieur à q on a aussi
f^q(x) dans Imf^(2q) d'où l 'existence d un z ' tel que
f^(q) (x) = f^(2q) (z ')
on pose z = f^(q) (z ') et t = x - z d' où l 'existence de la décomposition.
on a f^q(x) dans Imf^q comme 2q supérieur à q on a aussi
f^q(x) dans Imf^(2q) d'où l 'existence d un z ' tel que
f^(q) (x) = f^(2q) (z ')
on pose z = f^(q) (z ') et t = x - z d' où l 'existence de la décomposition.
par Ben314 » 05 Mar 2010, 11:03
Salut,
Une méthode peut-être plus rapide que celle de alavacommejetepousse (qui est déjà bien rapide) et moins "astucieuse" peut consister à simplement vérifier que\cap {\text Im}(f^q)=\{0\})
ce qui est assez immédiat du fait que ={\text Ker}(f^{q})=\{0\})
.
Une méthode peut-être plus rapide que celle de alavacommejetepousse (qui est déjà bien rapide) et moins "astucieuse" peut consister à simplement vérifier que
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Fab-333 » 05 Mar 2010, 12:29
alavacommejetepousse: merci c'est bien clair
ben314: c'est assez étonnant: es-tu sûr que ker(f^q)=0? dans ce cas on aurait E=Im(f^q) et là question serait bizarrement posée... il ne semble pas évident que pour tout endomorphisme l'image itérée contient l'ensemble en entier au bout d'un certain rang
ben314: c'est assez étonnant: es-tu sûr que ker(f^q)=0? dans ce cas on aurait E=Im(f^q) et là question serait bizarrement posée... il ne semble pas évident que pour tout endomorphisme l'image itérée contient l'ensemble en entier au bout d'un certain rang
par alavacommejetepousse » 05 Mar 2010, 12:43
hello ben qui est multi multi multi taches sur le forum d'où qq bugg par moments :id:
on n est pas en dim finie les noyaux ne sont pas égaux a priori ( et surtout pas à {0}) et la somme directe du noyau et de l image ne dirait rien quant à la valeur de la somme
on n est pas en dim finie les noyaux ne sont pas égaux a priori ( et surtout pas à {0}) et la somme directe du noyau et de l image ne dirait rien quant à la valeur de la somme
par Ben314 » 05 Mar 2010, 14:33
Le "quelques" est... gentil...alavacommejetepousse a écrit:hello ben qui est multi multi multi taches sur le forum d'où qq bugg par moments :id:
le "={0}" de la deuxième formule est effectivement un "copié collé" de la formule du dessus que j'ai oublié d'enlever...
Pour le coup de la dim finie, il me semblait que l'on se plaçait dans ce contexte....
De toute façon, en dim infinie, si on veut montrer que E est somme directe de ker(f^q) et de im(f^q) il faut donner les deux arguments (celui de alavacommejetepousse et le mien)...
Enfin, en résumé, comme d'hab, je vais pas avouer aussi facilement que ça que j'ai écrit des conneries... :zen:
Edit, là ou effectivement j'avais mal lu l'énoncé (que je vient de relire), c'est que l'hypothèse ne porte que sur la stabilité des images et pas celle des noyeaux.
Donc OK, ce que je raconte n'est valable qu'en dim finie.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Fab-333 » 05 Mar 2010, 15:00
ah, ma vision des mathématiques n'est pas entièrement chamboulée alors :)
mais permettez-moi d'abuser de vos compétences une dernière fois: la question finale du problème consiste à montrer que la suite des noyaux itérés et celle des images stationnent au même rang...
il me semble qu'à part l'absurde on n'ait pas 36 solutions, mais une fois qu'on a supposé les rangs strictement ordonnés, d'où obtenit la contradiction... de cette fameuse égalité E=kerf^q+Imf^q peut-être?
mais permettez-moi d'abuser de vos compétences une dernière fois: la question finale du problème consiste à montrer que la suite des noyaux itérés et celle des images stationnent au même rang...
il me semble qu'à part l'absurde on n'ait pas 36 solutions, mais une fois qu'on a supposé les rangs strictement ordonnés, d'où obtenit la contradiction... de cette fameuse égalité E=kerf^q+Imf^q peut-être?
par Ben314 » 05 Mar 2010, 15:40
SI ON EST EN DIMENSION FINIE (je l'écrit en gros, je veut pas me faire tapper sur les doigts deux fois dans le même thread), effectivement la formule dim(E)=dim(Im(f^q))+dim(Ker(f^q)) montre que le noyau ne que grossi QUE lorsque l'image diminue (et vice versa !!!) donc permet de conclure sans faire d'absurde ni de récurrence.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Ben314 » 05 Mar 2010, 16:24
En dimension infini, ça me semble faux :
Si E est l'e.v. des suites réelles et f la "fonction de décalage à gauche", c'est à dire celle qui à la suite_{n\geq0})
associe la suite _{n\geq0})
définie par 
, peut tu me donner )
et )
?
Si tu préfère, tu peut aussi regarder la "fonction de décalage à droite", qui à associe définie par 
et, 
...
Si E est l'e.v. des suites réelles et f la "fonction de décalage à gauche", c'est à dire celle qui à la suite
Si tu préfère, tu peut aussi regarder la "fonction de décalage à droite", qui à
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par alavacommejetepousse » 07 Mar 2010, 09:25
f est surjective donc la suite des images est bien stationnaire on a bien l'égalité de la somme ( pas directe!!) avec l'espace
par Ben314 » 07 Mar 2010, 11:13
Rhooo, j'en ait marre de me faire engueler....
Donc je précise que mon dernier post (concernant les décalage gauche et droit) concerne la "dernière question" :
Par contre, dans chacun des deux exemples, l'une des deux suites ne devient jamais stationnaire, donc peut être faut il interpréter la dernière question sous la forme :
"En supposant que la suite des noyau itérés et la suite des images itérées sont toutes les deux stationnaires à partir d'un certain rang, montrer que ce rang est le même"
Donc je précise que mon dernier post (concernant les décalage gauche et droit) concerne la "dernière question" :
il me semble que cela montre que la suite des noyeau peut grossir alors que la suite des images reste constante et que la suite des images peut diminuer avec des noyau constants.Fab-333 a écrit:...la question finale du problème consiste à montrer que la suite des noyaux itérés et celle des images stationnent au même rang...
Par contre, dans chacun des deux exemples, l'une des deux suites ne devient jamais stationnaire, donc peut être faut il interpréter la dernière question sous la forme :
"En supposant que la suite des noyau itérés et la suite des images itérées sont toutes les deux stationnaires à partir d'un certain rang, montrer que ce rang est le même"
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par Ben314 » 07 Mar 2010, 12:04
Effectivement, il est façile de montrer que :
1) Si on suppose Im(f^(q+1)) = Im(f^q) et Ker(f^(q+1)) non= Ker(f^q) alors, pour tout k>q, on a Ker(f^(k+1)) non= Ker(f^k)
2) Si on suppose Ker(f^(q+1)) = Ker(f^q) et Im(f^(q+1)) non= Im(f^q) alors, pour tout k>q, on a Im(f^(k+1)) non= Im(f^k)
1) Si on suppose Im(f^(q+1)) = Im(f^q) et Ker(f^(q+1)) non= Ker(f^q) alors, pour tout k>q, on a Ker(f^(k+1)) non= Ker(f^k)
2) Si on suppose Ker(f^(q+1)) = Ker(f^q) et Im(f^(q+1)) non= Im(f^q) alors, pour tout k>q, on a Im(f^(k+1)) non= Im(f^k)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par alavacommejetepousse » 07 Mar 2010, 21:19
scuzez moa j'avais mal ouïe ;
sinon pour les noyaux la dérivation sur R[X] est un autre contre exemple simple.
sinon pour les noyaux la dérivation sur R[X] est un autre contre exemple simple.
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