Noyaux et diagonalisation

[Mohamed]

salut:

je bloque sur cet exo, j'aimerais avoir un peu de l'aide :

E un C-espace vectoriel de dimension finie, u un endomorophisme de E tel que u^2 est diagonalisable

Mq u diagonalisable <==> ker(u)=ker(u^2).

en fait, c'est l'implication réciproque qui me crée un problème..

Merci d'avance;

[yos]

diagonalisable.
où P est à racines simples.

.
Pourquoi Q est-il aussi à racines simples? C'est là qu'on utilise l'égalité des noyaux de u et .

[yos]

J'ai parlé trop vite. Ca marche pas.

[yos]

Le problème de ma méthode c'est si 0 est valeur propre de , le polynôme P n'a pas de terme constant et du coup Q a 0 comme racine double. On peut contourner ce problème en remplaçant par avec a convenable pour que 0 soit pas valeur propre.
Ca donne :
u^2 diagonalisable.
diagonalisable.
avec P à racines simples non nulles.

Q(u)=0.
Q n'a que des racines simples.
U diagonalisable.

[Mohamed]

oui, je vois maintenant, merci yos

[yos]

Rien à faire, mon truc est encore faux.
Essayons autrement.
Soit a une vp non nulle de , l'espace propre associé. Puisque u commute avec , il laisse stable et sa restriction à est annulée par qui n'a que des racines simples, donc est diagonalisable.Si 0 est vp de , on n'a pas de problème car (égalité des sous-espaces propres).
En recollant toutes les restrictions, on doit avoir u diagonalisable.

[Mohamed]

si toutes les restrictions sont diagonalisables, pourquoi u sera aussi diagonalisable?

[yos]

Parce que E est somme directe des espaces propres de .

[Mohamed]

tu peux expliquer plus?

[Antho07]

Je v essayé de reprendre ce qui a été dit.

L'endomorphisme u² est diagonalisable. Son polynome minimal est donc scindé à racines simples.

Ecrivons le:




Ceci annule u²

Par conséquent le polynome

est annulateur de u.

On va distingué 2 cas

-Premier cas: 0 n'est pas valeur propre de u²

Comme on est dans C, soit une racine carrée de pour tout i entre 1 et p.

Le polynome Qu devient alors.



Ce polynome est un polynome annulateur de u, scindé à racines simples donc u est diagonalisable.

- Deuxieme cas: 0 est valeur propre

Considerons la restruction de u à la somme des autres espaces propres de u² (ceux qui sont pas associés à la valeur propre 0).

Par le même raisonnement que le premier cas, cette restriction de u est diagonalisable. (Notons P le polynome annulateur de cette restriction de u)

Le probleme reste donc sur le sous espace propre associé à la valeur propre 0. (Autrement dit sur ker u²)
On sait que u² est diagonalisable donc que X² annule la restriction de u à ce sous espace propre.
Or ker u=ker u² donc X annule la restriction de u à ce sous espace propre.

Ainsi est annulateur de u (il annule u sur tous les espaces propres de u² dont la somme forme l'espace tout entier).

Or ce polynome est scindé à racine simple.

u est diagonalisable.





Tout repose sur la propriété suivante:


Un endomorphisme u de E est diagonalisable ssi il existe un polynome annulateur de u scindé à racines simples.

(ssi son polynome minimal est scindé à racines simples)



puis aussi que un endo u de E est diago ssi E s'ecrit comme somme direct des sous espaces propres de u

[yos]

Antho a tout dit je pense. Moi j'avais des problèmes de connexion.

si toutes les restrictions sont diagonalisables, pourquoi u sera aussi diagonalisable?

Tu as donc où . La restriction de u à chaque est diagonalisable donc on peut prendre une base de chaque dans laquelle la matrice de est diagonale. En posant , on a une base de E dans laquelle la matrice de u est diagonale.