Analyse-Corps, Noyaux et Anneaux

[Robot]

on doit démontrer que A/I est un corps ssi I est un idéal maximal et I est idéal maximal ssi I c'est irréductible.

Un nouvel exemple de lecture de travers : Moulou avait écrit "dans R[X], (P) est un idéal maximal ssi P est irréductible."

[ArtyB]

Au temps pour moi, je le reconnais là je l'ai lu de travers.
Mais qu'est-ce que (P) dans ce cas là ? P est bien un polynôme de R[X] n'est-ce pas ?

[MouLou]

Pardon, (P) c'est une notation pour "idéal engendré par P", ca doit etre

pour toi.

[ArtyB]

Merci MouLou, en reprenant ce que tu as écrit:
"- A/I est un corps ssi I est un idéal maximal.
- dans R[X], (P) est un idéal maximal ssi P est irréductible."
Il faut que je montre que l'idéal I=kerf(f) est maximal c'est à dire que le polynôme qui engendre ker(f) est irréductible.
ker(f) est l'ensemble des polynômes de R[X] divisibles par (X²+1) donc ker(f). Donc ker(f) est engendré par (X²+1) qui est irréductible. Donc ker(f) est un idéal maximal et R[X]/ker(f) est un corps.
Est-ce correct ?

Pour la dernière question, je dirai que P(X)=X²-1=(X+1)(X-1) n'est pas un polynôme irréductible (on les racines X=+/- racine de 1) et donc pas maximal donc R[X]/(X²-1) n'est pas un corps.

[MouLou]

Oui c'est tout bon. Si tu sais montrer tous ces trucs c'est encore mieux

[ArtyB]

Merci MouLou, comment ça les montrer ?

[MouLou]

Peut être est ce dans ton cours mais c est toujours un bon exo de montrer les faits suivants:
- un anneau est un corps ssi des seuls idéaux sont {0} et lui même.
- A/I est un corps ssi I est un idéal maximal.
- dans R[X], (P) est un idéal maximal ssi P est irréductible.

celui ci