Analyse-Corps, Noyaux et Anneaux

[ArtyB]

Bonjour,

J'ai un peu de mal avec l'exercice suivant, je connais bien toutes mes propriétés de chaque ensemble mais je ne vois pas comment démontrer les réponses aux questions suivantes:

Soit f : R[X] dans C l’application définie par :

où R[X] désigne l’ensemble des polynômes à coefficients réels.
1). Montrer que R[X] est un anneau, et f un morphisme d’anneau.
2). Déterminer le noyau de f.
3). Soit I le noyau de f. Montrer que le quotient R[X]/I est un corps.
4). Soit (X²-1) l’idéal principal de R[X] engendré par X²-1. Montrer que R[X]/(X²-1) n’est
pas un corps.

[remullen2000]

Bonsoir,

Où bloques-tu?

[ArtyB]

Bonjour,

En fait je ne suis pas sûr de la force de mes arguments:

1) Un anneau est un triplet formé d'un ensemble (R[X]ici) et des deux lois de composition que sont l'addition et la multiplication qui sont bien des lois de R[X] car on peut faire des additions et multiplications de polynômes.
Et qui vérifie:
-commutativité: R[x] est bien commutatif, pour tous polynômes P et Q de R[X] on a PQ=QP
-associativité du produit: pour tous polynômes P, Q et V de R[X] on a bien: P(QV)=(PQ)V
et l'élément neutre est le polynôme réduit à 1: P=1 et f(P)=P(i)=1 soit P=f(P)
-distributivité du produit par rapport à l'addition: pour tous polynômes P, Q et V de R[X] on a bien:P(Q+V)=PQ+PV et (P+Q)V=PV+QV
Donc R[X] est bien un anneau.
F est un morphisme d'anneau car C et R[X] sont des anneaux et pour tous polynômes Q et P de R[X] f vérifie:
-f(P+Q)=P(i)+Q(i)=f(P)+f(Q)
-f(PQ)=P(i)Q(i)=f(P)f(Q)
-y aurait il une autre condition sur des éléments neutres de R[X] et C ?

2) ie P le polynôme nul ?

3) Soit I le noyau de f, R[X]/I est un corps ssi les conditions suivantes sont vérifiées:
-R[X]/I est commutatif
-R[X]/I est non réduit à 0
-Le produit de deux éléments non nuls de R[X]/I est non nul
-> R[X]/I est un anneau intègre donc c'est un corps

4)Je suppose que l'on doit pouvoir trouver un contre-exemple pour l'une des propriétés ?

[Robot]

Tu aurais besoin d'une remise à niveau en ce qui concerne les définitions d'anneau, morphisme d'anneaux, noyau de morphisme d'anneaux, corps !
N'as-tu pas de cours pour réviser ces définitions ?
Ne serait-ce que pour le noyau d'un morphisme d'anneaux f : c'est l'ensemble des x de l'anneau de départ tel que f(x)=0 (l'élément neutre pour l'addition de l'anneau d'arrivée).

[ArtyB]

Euh je n'ai fait que recopier les définitions de mon cours justement...
Mais ou au temps pour moi pour le noyau j'ai confondu noyau d'un morphisme de groupes et noyau d'un morphisme d'anneaux. J'édite mon post. Et dans ce cas là c'est le polynôme nul ?

[Robot]

Euh je n'ai fait que recopier les définitions de mon cours justement...

Hum, tu en as oublié en cours de route !
Et ta définition de corps ? Revois tout ça !

[ArtyB]

C'est pourtant tiré directement des polycopiés de cours d'analyse donné à l'université pierre et marie curie. Mais bon je suppose qu'ils ne sont pas parfaits, allons voir Wikipédia then.

Définition de l'anneau:
"Un anneau est un ensemble A muni de deux opérations (appelées addition et multiplication) qui se comportent comme celles des entiers relatifs au sens précis suivant: A muni de l'addition est un groupe commutatif, la multiplication est associative, distributive par rapport à l'addition, et elle possède un élément neutre."
C'est exactement ma définition non ?

Pour le corps j'ai pris la propriété qui dit que si un anneau est intègre alors c'est un corps.

Pour l'intégrité de l'anneau, Wikipédia donne les même propriétés que l'UPMC, ie les conditions à vérifier sont:
-non réduit à l'élément nul
-le produit de deux éléments non nuls de l'anneau est un élément non nul.

Donc j'ai un peu de mal à voir où mes définitions sont erronées, je suis preneur de toute correction !

[remullen2000]

f(P)= 0 donne P(i)=0, donc i est racine de P tout comme -i.

Donc Ker(f)=....?

[ArtyB]

Ah oui aussi, au temps pour moi. Donc Ker(f) est l'ensemble des polynômes dont les racines sont i et -i et le polynôme P=0 ?

[Robot]

M'enfin ???

Définition de l'anneau:
"...A muni de l'addition est un groupe commutatif..."
C'est exactement ma définition non ?
!

Tu n'as pas dit un mot des propriétés de l'addition !

Pour le corps j'ai pris la propriété qui dit que si un anneau est intègre alors c'est un corps.
!

N'importe quoi ! Revois la définition de corps.

Le problème n'est pas avec tes polys. Le problème est que tu les lis de travers.

[remullen2000]

Si un polynôme à coefficient réel a i et -i comme racine alors tu peux le factoriser par......?

L inversibilite de tout élément (sauf 0) par la deuxième loi fait d un anneau un corps !

[ArtyB]

@Robot
Ah oui en effet désolé, j'ai oublié de le recopier ça. Pour les propriétés de l'addition, pour tous polynômes P et Q de R[X] on a:
P+Q=Q+P donc R[X] muni de l'addition est un groupe commutatif.

Au temps pour moi, mon cours n'énonce pas le fait qu'un anneau intègre est un corps si l'anneau est fini.

Je ne vois pas où j'ai lu mon cours de travers mais je serais ravi de l'apprendre, et de savoir ce que je comprends mal.

@remullen2000
Si les racines sont i et - i alors le polynôme est de la forme:
P=Q(X-i)(X+i) avec Q un polynôme de degré inférieur a celui de P
Donc P est divisible par (X-i)(X+i)=(X²+1) et Ker(f) est l'ensemble des polynômes P de R[X] divisibles par (X²+1) ?

Ici la seconde loi étant la multiplication, il suffit juste que l'on puisse diviser ?

[remullen2000]

Oui voilà ! C est un idéal.
Et le quotient est un corps que tu connais bien!

[ArtyB]

Donc

I est un sous groupe additif de R[X] et pour tous polynômes P de R[X] et Q de I on a PQ qui appartient à I. Donc I est un idéal de R[X].

Et du coup pour la question 2) il faut que je démontre que R[X]/I est un corps en me servant du fait que I est un idéal de R[X] mais comment ?

[Robot]

Au temps pour moi, mon cours n'énonce pas le fait qu'un anneau intègre est un corps si l'anneau est fini.
Je ne vois pas où j'ai lu mon cours de travers mais je serais ravi de l'apprendre, et de savoir ce que je comprends mal.

Te rends tu comptes que tu reconnais dans une première phrase que tu as lu de travers ton cours, et que juste après tu déclares ne pas voir où tu as lu ton cours de travers ? :ptdr:

[MouLou]

Peut être est ce dans ton cours mais c est toujours un bon exo de montrer les faits suivants:
- un anneau est un corps ssi des seuls idéaux sont {0} et lui même.
- A/I est un corps ssi I est un idéal maximal.
- dans R[X], (P) est un idéal maximal ssi P est irréductible.



Sinon t as une autre méthode pour montrer directement que si P est irreductible, alors R[X]/(P) est un corps en utilisant la relation de bezout pour montrer que tout element de R[X]/(P) non nul est inversible

[Ben314]

Tu peut aussi dire (si tu l'as vu) que f est surjective (évident) donc induit un isomorphisme de sur qui est un corps.

[ArtyB]

@Robot

Te rends tu comptes que tu reconnais dans une première phrase que tu as lu de travers ton cours, et que juste après tu déclares ne pas voir où tu as lu ton cours de travers ? :ptdr:

Nop je dis juste que mon cours n'est pas complet, puisqu'il ne faisait pas mention de cette propriété là. C'est plus une erreur dans la conception du cours qu'une erreur de lecture non ?
Anyways je reconnais qu'il manquait cette partie dans ma définition et que du coup je ne peux pas utiliser ça.

@MouLou
Merci, j'ai en effet vu ça dans mon cours, mais comment prouver que I est irréductible ?

@Ben314
Je ne l'ai pas vu mais je suis curieux de savoir pourquoi cela fait de R[X]/I un corps

[MouLou]

Je sais pas ce qu c'est un idéal irréductible. De quoi veux tu précisément parler?

[ArtyB]

En reprenant ton post précédent, on doit démontrer que A/I est un corps ssi I est un idéal maximal et I est idéal maximal ssi I c'est irréductible. Comment démontrer que I est irréductible ?